題目是太原五中的理科期中測試題目，不是原創題，題目本身難度并不大，單純考查隐零點求最值一個知識點，但是此次測試在學生群體中出現的三個最多答案分别是-2,-1,0，有興趣的可以自己先做一下，做完之後從下方的投票框中選出自己的答案即可，隐零點問題之前有專門的篇幅講到過，今天借着這個題目對隐零點做一些補充，題目如下：

這個題目值得一提的有兩點，第一是隐零點所在區間的确定問題，第二是不等式能否取等的問題，先看第一個問題：

隐零點指的是導函數的零點，即原函數的極值點，當極值點求不出來時可直接設為x0，用極值點處導數值為零對極值進行化簡，通常來說化簡之後的極值都相對簡單，因此确定極值點所在的區間常根據零點存在定理取整數，但具體還得根據化簡之後的極值表示形式和題目中函數中指對數的類型來具體确定，以下面三種典型的極值形式為例：

為了簡便，上述設零點所在的區間均為具體的數字，第二種情況之前給出過一道例題，由于存在系數2，此時需要将x0區間的2縮小為3/2，這樣才能獲取最精确的最小值，典型例題如下：

第三和第四屬于相同的情況，第三種求λ的最小值，隻需看區間的右端點即可，取整時零點落在(2,3)之間，由于存在系數二分之一，因此也可将隐零點置于兩個相鄰的奇數或偶數之間，即(1,3)和(2,4),雖然取(2,4)時右端點明顯擴大，但除二之後依舊沒有超過2，因此右端點取3取4均可，但不可再擴大。

第四種情況求λ的最大值，需看區間的左端點，用整數判定零點在(2,3)中，雖然系數也是二分之一，但隻可用相鄰的偶數(2,4)來确定，不可用(1,3)，典型例題如下：

本題也可将零點範圍确定在(8,10)之内，但不可将零點确定在(7,9)。

綜上，隐零點确定零點所在區間時可先确定零點所在的整數區間，再根據極值情況利用二分法調整左或右的值，因為零點所在區間越精确，參數範圍越準确，由于此類問題求得的參數為整數，因此也沒必要過于精确，保證整數不滲出即可，這種題目的并不大，有的時候題目中會給出參考數據，結合所求參數的最值情況和參考數據調整左右即可。

上述四種情況對極值進行化簡之後的形式很簡單，還有一種情況，即對極值化簡之後依舊是一個函數，此時需要再求函數的最值，此時對零點區間的确定要求更加嚴格一些，但方法依舊如上，先确定整數區間，按照所求參數的最值和參考數據對左或右進行調整，這是單純的用隐零點法求最值或極值時的情況。

與此類似的還有一類題目，這種題目是以證明的形式出現，即證明極值在兩個實數範圍之内，此時對零點所在區間的要求非常嚴格，而且不再是以整數或二分法的方式确定準确範圍，但這種題目中左右兩側的系數恰恰可以幫我們準确的确定零點所在的範圍，例題如下：

在本題中對極值化簡之後需要确定x0的準确範圍，我們就可以直接用左右給出的1/4和2反推出零點所在的準确區間，理解起來很容易，不再多少，現在回到文章一開始的題目。

以上是學生的兩種錯誤答案，據此求出的參數最小值分别為-1和-2，先不用考慮框中能否取等的情況，對最值化簡之後是一個關于x0的函數，且函數單增，用整數區間能初步判斷零點在(1,2)中，根據參數所求最值的要求，我們需要重點關注m(x)值域的左側數值，因此就很自然想到零點所在區間的左側1是否偏小，加之題目中給出了參考數據ln2和ln3，因此需要利用二分法将區間縮小為(3/2,2)。

上述過程求得的參數最小值為0，也是準确答案，紅框中無論能否取等，都不影響結果。

接下來考慮本題帶來的第二個問題，即上面兩張圖片中框住的部分，能否取等的問題，這個問題有些繞，仔細琢磨反而會越加迷惑，以第一種錯誤方法中是否能取等為例給以說明。

這個問題需要糾結嗎？有人覺得取等與否無所謂，但在本題中當然需要，如果第一種确定零點所在區間的方法沒錯的話，這個等号直接決定了λ的最小值是取-1還是-2，如果可以取等即λ=-2時，顯然不等式不成立，當不能取等時卻存在使得不等式成立的λ值，這裡可以用命題的“或”來解釋， p 是假命題, q 是真命題,p∨q 是真命題，即λ=-2時不成立，λ>-2時成立，λ≥-2時也成立，舉個最直接的例子：5≥4>1,那麼5≥1也成立，因此無論h(x0)的區間是開是閉，在本題中均可取等。

最後想說一些無關的話，作為教師我們可能覺得問題很簡單，也很容易想明白，但作為初學的學生，在沒有熟練掌握的情況下很容易鑽牛角尖，而且是讓老師覺得詫異的牛角尖，因此作為老師，希望能從學生的角度去分析這些看似可笑的問題，無論多麼怪異，也要一個一個去扣，就比如本文所說的，隐零點問題絕大多數學生都知道原理，但怎麼去選擇零點所在的合适區間，以及有哪些變形，這些你真的都懂了嗎。

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