編輯導語：“随機變量”是我們經常會聽到的一個詞，但它具體是什麼，它有什麼樣的特點？這篇文章為我們仔細講解了“随機變量”的相關知識，一起學習一下吧。

很久沒有分享一些基礎的理論知識相關的文章了。一方面這種文章大家閱讀意願低，比較難和實踐結合，沒那麼多合适的案例分享；另一方面也是不好寫，各種數學公式和符号，電腦編輯起來真的是異常艱難。

所以寫完了統計學相關的系列後，就遲遲沒動筆寫新的。不過對于我們數據從業人員來講，概率、代數、統計、算法等相關的知識，還是要盡可能紮實掌握的。（統計學系列傳送：《統計學基礎》、《抽樣分布》、《參數估計》、《區間估計》、《假設檢驗》）

今天和大家唠唠概率論中很重要的基礎内容：随機變量的一些基礎概念，主要是離散型和連續型的區别，以及各自的分布函數。

一、随機變量的基礎概念

先聊聊一些基礎的概念。

1. 随機變量

設随機試驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間上的實值單值函數，則稱X為随機變量。一般以大寫字母X，Y，Z等表示随機變量。

關于定義，理解就好。

說白了，我們就是把真實的随機事件抽象出來，用随機變量來表示，進行數字化、抽象化，便于分析。

随機變量分為兩類：離散型和非離散型。

離散型：若随機變量X隻能取到有限個或者可列個不同值，則稱X為離散型随機變量。比如抽一張紙牌，一共54張，把這個事件轉化成随機變量，這個随機變量的取值最多54個，是有限的。這就是離散型随機變量。

非離散型：與離散型相對地，非離散型随機變量指随機變量有不可列個不同取值的随機變量。比如人的身高，可以從0厘米到300厘米任取，是無限個取值，因此是非離散型的。

非離散型随機變量中，有一類特殊的，也是我們主要關注的類型：連續型随機變量。連續型和非離散型并不等同，這點需要注意。

2. 概率分布列與密度函數

對于離散型随機變量而言，我們用概率分布列描述概率分布；而對于連續型随機變量，我們用概率密度函數來描述。

以下是離散型随機變量概率分布列的示意圖：

可以看出來，随機變量X的有限可列個的，因此可以用上面的表格表示不同X取值時，具體的概率值。

連續型随機變量密度函數示意圖如下：

下面是常見的連續型函數的概率密度示意：

另外，關于連續型随機變量的概率密度函數還有個性質：

這告訴我們對連續型随機變量，其在任意單點處取值的概率為0。這點很重要。因此也可以得到推論：

即在端點上是否取到，不影響整體區間的概率。

最後，無論是概率分布列還是密度函數，概率之和（或者面積）都等于1。這是概率的基礎定義。

3. 分布函數

X是随機變量，則函數F(x)=P(X<x)成為X的概率分布函數，簡稱分布函數。

對于離散型随機變量，假設P(X=xk)=pk，則分布函數為：

此時分布函數為階梯函數且單調遞增。且函數值的跳躍發生在所有xk處，跳躍的幅度為pk。舉個例子，随機變量X的概率分布列：

根據定義，可以推導出分布函數為：

對于連續型随機變量，假設密度函數為f(x)，則分布函數為不定積分：

與離散的情況類似地，分布函數仍舊具有單調遞增的性質，因為f(x)是概率，一定有f(x)>=0.給個正态分布的分布函數示例：

另外，還有性質：

不再展開贅述。

二、離散型随機變量

下面介紹幾個常見常用的離散型随機變量的一些特點。

1. 0-1分布:B(1,p)

定義：X的值為一個随機事件的發生與否（發生是1，不發生是0），這個事件發生的概率為p。則X服從參數為1，p的0-1分布，記作X~B(1,p)。其實就是伯努利分布。

概率分布：

這個比較簡單，容易理解，不展開了。本質上是下面的二項分布的取n=1的情況。

2. 二項分布:B(n,p)

定義：X為n次獨立重複随機事件中發生的事件數。這個事件每次發生的概率都是p。則X~B(n,p)

概率分布：

二項分布的不同參數下的分布函數如下：

3. 泊松分布:P(λ)

定義：X為某個随機事件發生的次數，假設每次事件發生與否相互獨立，且平均事件發生λ次，則X~P(λ)

概率分布：

泊松分布不同參數下的分布函數如下：

這裡重點關注泊松分布的平均發生次數（即期望值）=λ，而且後面我們将知道，泊松分布的方差也是λ。

4. 幾何分布:G(p)

定義：重複進行随機事件，直到事件發生為止才停下。X為首次發生時共做的事件的次數。每次發生的概率均為p，則X~G(p)

概率分布：

這裡重點注意X的取值最小是從1開始，而不是0，根據定義可以得出。

三、連續型随機變量

第一部分的連續型随機變量小圖，給出了很多連續型随機變量的示意圖。下面我們針對幾個常見、常用的連續型随機變量，進行詳細闡述。

1. 均勻分布:U(a,b)

定義：a<b，若密度函數滿足以下，則X~U(a,b)

容易理解地，均勻分布的密度在非零處均為常值，并且保證了在R上的積分是1。

分布函數為：

2. 指數分布:E(λ)

定義：λ>0，若密度函數滿足以下，則X~E(λ)

指數分布可以用來表示獨立随機事件發生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。因此取值時大于0的。

分布函數為：

3. 正态分布:N(μ,σ2)

定義：σ>0，若密度函數滿足以下，則X~N(μ,σ2)

特别的，N(0,1)被稱為标準正态分布，是我們最常用的分布之一。

這樣的做法的意義在于将求正态分布概率的過程統一化了。我們現在隻需要能求出标準正态分布的概率即可求出所有不同正态分布的概率。

關于随機變量，我們今天隻能先介紹這些了，希望大家能有所收獲。

#專欄作家#

NK冬至，公衆号：首席數據科學家，人人都是産品經理專欄作家。在金融領域、電商領域有豐富數據及産品經驗。擅長數據分析、數據産品等相關内容。

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