上一期階乘也很有趣：從階乘到伽瑪函數到非整數的階乘我們從階乘的定義出發，談到階乘的計算、階乘的解析延拓、伽瑪函數、階乘函數，并盡量做到深入淺出，以凸顯數學的奧妙、美麗與魅力。但由于階乘函數是采用定積分方式定義，感覺仍然不太好理解。所以，今天專門就這一話題進行展開。
階乘函數的定義（Factorial Function）階乘函數定義為：
階乘函數是以積分的形式定義的，其中被積函數
的自變量是u，x這裡不是自變量（x是階乘函數的自變量）。很顯然該函數是沒有原函數的，否則根據為積分的定義，階乘函數也就不必要采用積分方式來定義了。
對數函數與
對階乘函數的解剖階乘函數有一個定積分公式表達，其被積函數f(u)由兩部分組成，即
和
。
前者是一個自變量u的x次方（先假定x≥0），是單調遞增的；後者是一個負指數函數，是單調遞減的。
先畫圖，分别令x=0.6、1、2、3，得到f(u)的曲線如下圖所示：
觀察上圖，有如下結論：
1、 x取不同值時，不同的f(u)函數曲線都有一個公共交點，這個交點的坐标是P(1, )；
2、 f(u)都是一開始遞增，而且x越小，一開始遞增得越快。這說明，一開始是f(u)的第一個因式
處于主導作用；
3、 當u=x時，f(u)爬到山頂，得到最大值，此時函數值開始快速遞減。此時，x越大，曲線下降得越快。這說明f(u)的第二個因式
開始處于主導地位了；
4、 圖中可見，在u=14附近，x的差異帶來的f(u)函數值的差異已經幾乎可以忽略不計了。由于第二因式
是可積的，所以可以直觀判斷f(u)也是可積的。
階乘函數本質是"面積"因為
所以，從x!的值相當于在區間[0, ∞]上曲線
與u坐标軸（f(u)=0）之間所夾面積。
上圖中，綠色線條下面的面積是5的階乘5!=120，藍色曲線下面的面積是4的階乘4!=24，橙色區縣的面積介于兩者之間，所以可以表示為4與之間的某個數的階乘（如圖4.5！）。
所以，階乘的本質是面積，這就是階乘的幾何意義。
根據階乘函數定義，得到
所以，數學上定義0!=1!=1是合理的。
這樣你對實數的階乘還有什麼不能理解了呢？
階乘解析延拓到實數域，妙就妙在人類發現了一個這樣的函數（幂函數與指數函數的積）
該函數曲線與橫坐标之間的面積與恰恰可以與非負整數域的階乘值相匹配！！！這個函數的積分即為對數函數，也即伽瑪函數。
後續我再找時間進一步透視負數的階乘的幾何意義。
去年一滴相思淚，今年剛流到腮邊。
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