今天小侯七老師給大家發幹貨了!函數的性質以及極限的定義送給大家!
大家要記得收藏起來備用啊!
廢話不多說,跟着小侯七老師的腳步一起來看看吧!
知識就是力量
一:專題總結:函數的性質
l 奇偶性 區間關于原點對稱
a) 若f(x)可導,f(x)為奇函數則f’(x)為偶函數
f(x)為偶函數則f’(x)為奇函數
b) 偶+奇=非奇非偶
c) 求方程的根的個數利用奇偶對稱性
例題
d) 定積分計算時的簡化計算
例題
e) 圖像應用
f ) f(x)是連續的奇函數,所有原函數都是偶函數
f(x)是連續的偶函數,c=0時 所有原函數都是奇函數
l 周期性
a) 若f(x)是可導的以T為周期的周期函數,則f’(x)也是以T為周期的周期函數
b) 可積f(x)以T為周期則F(x)=以T為周期的充要條件=0
c) f(x)全體原函數周期為T等價于=0
l 單調性
a) 單調有界準則求數列極限
b) 研究函數性态
c) 求方程唯一零點
例題
l 有界性 在定義域上談
a) 有界性M不一定是極限值,|sinx|小于等于a也可
b) 充要條件是要有上界與下界
c) 無窮小一定有界
d) 無窮大一定無界,無界量不一定無窮大
e) f’(x)在有限區間上有界則f(x)在區間上有界
考研
l 專題1:極限的定義
1函數極限的定義
定義
2.數列的極限證明:
目标:1.會寫定義(仿照函數極限)
2.會做遞推不等式用單調有界證明極限存在
例題
極限的三大性質
l 專題2:三大性質證明整理
a) 唯一性:反證法
假設f(x)在x趨于無窮時 有兩個極限A,B,且A>B取ε=(A-B)/2,存在N1,當n>N1時,有 | f(x)-A|<(A-B)/2 (1)存在N2,當n>N2時,有 | f(x)-B|<(A-B)/2 (2)取N=max{N1,N2},則當n>N時,上面兩式同時成立(1)可化為:(B-A)/2< f(x)-A<(A-B)/2,可得 (B A)/2< f(x)<(A-B)/2 A(2)可化為:(B-A)/2< f(x)-B<(A-B)/2,可得 (B-A)/2 B< f(x)<(A B)/2出現矛盾,一個式子是f(x)>(A B)/2,另一個是f(x)<(A B)/2所以假設不成立,極限唯一
b) 局部保号性:證明函數極限大于0時,在x趨于x0,f(x)大于零。對任意的ε>0,在x趨于x0,存在δ>0, 滿足 |f(x)-A|<ε, 即有 A-ε<f(x)<A ε. 當取 ε=A/2,則上式變為 A/2<f(x) < 3A/2,在(x0-δ,x0 δ)上成立。 即找到一個區間上,f(x)大于零。
c) 局部有界性
例題
l 專題3:讨論函數在區間上有界性方法:
(1) 若區間為[a,b]那麼根據“連續函數在[a,b]上必有界”直接可得
(2) 若區間為(a,b)那麼:
(a) x趨向a+ 函數極限存在
(b)x趨向b- 函數極限存在
(c)函數在(a,b)内連續那麼在[a,b]連續從而由 (1)得 出[a,b]有界
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