圖1

要理解梯度，必須先理解什麼是方向導數。參照圖1。z代表空間曲線。

圖2 方向導數說明圖

我們先看看方向導數的定義：

圖二 方向導數的定義

所謂方向導數，就是指函數f(x,y)沿着直線L變化的速率，這條直線其實就是曲面上相對應的那條曲線在xoy平面的投影，完成投影的這個豎立的平面就稱為投影平面，那麼，方向導數其實就是空間曲線沿着它自己在xoy平面的投影直線的變化率。正如dy/dx表示二維平面中一條曲線在某一點沿着x軸的變化速率（也就是切線的斜率）一樣，參考說明圖，可以很清楚地理解方向導數的含義。有了定義以後，可以得出

圖3

圖3相當于把方向導數

在XOY平面進行了分解，然後再和一個單位向量做點積，這個單位向量就是

這裡的角度

就是圖2中xoy平面裡面由P0點出發的不同的方向直線和x軸之間的夾角。當空間曲線 f 固定的時候，方向直線可以有無數條。那麼，方向導數什麼時候取得最大值呢？

由上面推論可知，方向導數就等于梯度和xoy平面中方向直線所指向的那個方向的點積。

注意，假設XOY平面有不同的方向直線，那麼

梯度方向就是圖2中的綠色投影平面在XOY平面截取的那根直線

顯然，方向導數的最大值即梯度

圖三

整個證明的思路就是先假設梯度的方向就是投影平面在圖2中xoy平面中截取的直線L,梯度的方向就是圖三，否則，梯度如果是别的方向的話，就會多出一個

因此得證。

下面解釋梯度的含義。假設有如下的圓錐形曲面，這個曲面就是函數f(x,y),用一個平面去截取它，

之後得到如下的曲線

之後擡高平面，截取多根曲線後，将其投影到xoy平面，得到下圖。

等高線圖

可以看出，平面截取的f(x,y)=c,就是一根一根的等高線，其中c越大，說明高度越高，平面越在上面，從而截取的圓圈越小。圖中的c1>c2。如果c是連續變化的，那麼整個曲面就都投影到了xoy平面。那麼，為什麼說梯度的方向就是高度變化最快的方向呢？從圖二方向導數的定義式可以看出，梯度是方向導數取到最大值的時候的數值，也就是比值取到最大值，那當然是高度變化最快的方向。那為什麼梯度的方向就是等高線中該點的法線方向呢？注意，P點對應于圓錐曲面上的某一點。說明如下：

圖4

最後，我們可以這樣來理解梯度：梯度是為了解決幫助一個站在山坡（P點）的人，尋找一條到達山頂的最短路徑（當然也可以到山坡的任何一點）這麼一個問題。那麼，怎麼把等高線圖和這個問題聯系起來呢？為了解決這個問題，我們需要建立一個三維直角坐标系，其xoy平面就是山坡底部所在的平面，z軸就是P點所在的垂直于xoy平面的直線，即這個坐标系的原點就是山坡上P點在xoy平面的投影（圖4）。當圖2中的方向直線（包括投影平面）繞着原點轉動時，必然在圓錐曲面（山坡）上會截取一條空間曲線，這條曲線就是站在山坡的此人沿着任意方向進行移動的軌迹。而當方向直線轉到與等高線圖中P點的法線方向一緻的時候，就是方向直線找到了梯度的方向（注意，方向直線和梯度向量始終同時處于xoy平面内），而此時投影平面在山坡所截取的空間曲線，必然把此人站立的P點和山坡頂點連接起來，如果沒有，那就不是梯度的方向，而且這條曲線就是此人通向山頂（不是山腳，山腳代表梯度的反方向）的最短路徑。由此我們可以看出，梯度其實就是這條最短路徑在山腳所在平面的投影。那麼這個人沿着這條軌迹，每向山頂邁出一步，也就相當于在等高線圖中，沿着梯度方向，從一條等高線跨越到了和它鄰近的那條等高線。總之，梯度是一個向量，就是空間曲線由其投影平面在XOY平面所截取的那根直線，其值等于方向導數的最大值，方向就是該點在等高線圖中的法線方向。

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