提到“克萊因”，大家第一反應應該是法國藝術家伊夫·克萊因，在上世紀60年代展示的一種混合顔色，在現代社會已經成為了高級和溫柔的代表。

克萊因藍

但是今天，我們要講的不是這個“克萊因”，而是一個神奇的瓶子“克萊因瓶”。

而即便我們将其叫做“克萊因瓶”，它也不是一個真正意義上的瓶子，因為在它的底部有一個洞，我們根本無法将其填滿。

接下來我們就來了解一下，神奇的“克萊因瓶”是什麼？為什麼将地球上的水倒進去，也裝不滿？

克萊因瓶

最開始數學家菲利克斯·克萊因，在1882年提出它的時候，用的是德語“Kleinsche Fläche”，正确的翻譯應該是“克萊因平面”。

隻是後來人們在抄寫的過程中，将“Fläche”，抄成了“Flasche”，于是就變成“克萊因瓶”了。

之所以要提到這個典故，是因為我們根據它的描述，制作出來的圖像其實就和瓶子沒什麼兩樣。

菲利克斯·克萊因

在數學領域，克萊因瓶值得是一種無定向性的平面，就像在二維空間中一樣，沒有内外之分。

在拓撲學中，它指的就是一個不可定向的拓撲空間。

所以對其進行理解後，我們可以将克萊因瓶表述為：将一個底部有洞的瓶子，進行延長，使得瓶頸能夠扭曲進入瓶子内部，最後于底部的洞連接起來。

如果是這樣的話，那麼一隻螞蟻在瓶子的内部爬行，就不需要爬到表面就可以來到瓶子外面了。

克萊因瓶

怎樣可以形象地理解這樣的結構呢？我們可以從莫比烏斯環來進行理解。

二維空間屬于平面，這個大家都知道，也就是擁有正反兩面的紙條。

如果在這個紙條上，存在一個二維生物，它此時需要從正面來到反面的話，必須要繞過紙條的邊緣才能抵達，當然如果它有本事直接穿過紙條也可以。

但現在我們不想這個二維生物這麼麻煩，于是将的一端翻轉180°（180°的奇數倍都行），然後再将兩端粘在一起，也就是”莫比烏斯環“。

莫比烏斯環

這個具有單側曲面的二維環狀結構，是1858年數學家奧古斯特·莫比烏斯發現的。

我們可以發現，如果将螞蟻放在這樣結構的紙條上，它既不需要經過邊緣，也不需要穿過平面，就可以達到另一面了。

并且這樣的結構，可以說是無限循環的，所以現在很多商家都将其視為愛情永恒的象征，制作出了類似結構的“莫比烏斯環”戒指。

莫比烏斯環戒指

這裡的莫比烏斯環還存在着邊緣，但如果我們将兩個莫比烏斯環合在一起，那麼它們的邊緣就可以完全連接起來，于是就可以得到一個封閉的結構。

最後呈現出來的其實就是一個，沒有内外之分，能夠直接從内部進入外面的“克萊因瓶”。

關于莫比烏斯環屬于幾維空間，很多人多有争議，但是既然我們能夠在三維空間看到并将其制造出來，那就可以将其視作三維空間的曲面。

克萊因瓶

而這樣兩個莫比烏斯環的疊加，顯然就上升了“克萊因瓶”的維度，使得其隻能在四維空間以上的世界存在。

莫比烏斯環能夠無限循環，那麼兩個加在一起，也可以實現這種永恒，所以我們才會說，如果這種瓶子真的存在，那麼即便将地球上的水都倒進去，也沒有辦法将其裝滿。

因此很多在市面上售賣的克萊因瓶，其實都是假的，将水倒進去後，随随便便就能裝滿，這不過商家是為了尋一個賺錢的門道罷了。

不是真的克萊因瓶

那麼在四維空間中，世界又是怎樣的呢？

我們常說的四維空間又稱“歐幾裡得四維空間”，這其實是一個數學概念，所以一定要和愛因斯坦提出的“四維時空”區分開。

科學家們根據現代科學知識體系，甚至總結出了11個維度空間，也就是在數學和物理學中，我們可以将n個數的序列，理解成一個n維度空間中的位置。

四維空間

在我們所處的三維空間中，存在三對主要方向，上下對應的是高度，南北對應的是維度，東西對應的就是經度。

這三對方向在空間中屬于兩兩正交，也就是兩兩成直角，在數學上對應的就是咱們的x，y，z坐标軸了。

所以處于三維空間的人，可以看到二維生物無法看到的被遮擋在牆背後的物體，并且能夠在不破壞空間的前提下就能将其拿出來。

三維空間的坐标軸

而在四維空間，就多了一對可以和其他三個主要方向垂直的主要方向，對應的坐标軸為w軸。

這時候處于四維空間的生物，就可以看到三維生物無法看到的事物，并且輕松将其取出。

如果按照空間的組成來說，一維空間就是點，二維空間就是将多個點組合在一起，形成的平面，而三維空間就是多個平面組成的“曲面”。

三維空間

那麼再這樣推算下去，四維空間就是由多個三維空間組成的了。

然而由于人類現在作為三維生物，對于四維空間隻能進行猜測，并基于現象總結，我們無法判斷其正誤，所以即便我們看到了一些現象，也無法确定這是四維空間引起的。

在三維空間中的“克萊因瓶”

市面上仍舊有很多模仿的“克萊因瓶”，雖然從表面上看起來，似乎不需要經過瓶子外部就可以從内部出來。

隻是形狀相似而已

但實際上，這樣的瓶頸和瓶身是相交在一起的，這就和我們概念中的“克萊因瓶”有很大區别，因為它根本就是自己穿過了自己的表面。

所以在三維空間中，人類無法真的将兩個莫比烏斯環的邊緣完全連接起來，除非要穿過它的表面。

我們雖然在現實世界中無法将克萊因瓶制造出來，但是确實存在一種永遠裝不滿的杯子，那就是西方的畢達哥拉斯與中國古代的九龍杯。

畢達哥拉斯和他的杯子

這兩個杯子運用的原理其實運用的原理是相同的，我國的九龍杯，被稱為公道杯，是明朝年間由工匠所制。

而畢達哥拉斯杯，也叫畢達哥拉斯貪婪坦塔羅斯杯，則由古希臘科學家畢達哥拉斯發明。

在杯子内部，有一條水位線，如果杯中的液體低于水位線時，它就和普通的杯子一樣别無二緻。

但是如果當杯子

裡的水超過水位線時，杯中的液體就會通過虹吸現象從杯底漏出去。

利用虹吸現象的杯子

兩個杯子告訴我們後人的，就是“知足者酒（久）存，貪心者酒（久）盡”，也就是說我們對待生活，知足常樂就好了。

虹吸效應

這其中應用到的虹吸效應，其實就是利用壓強差的原理，在密閉的容器中，液體的高度相等，那麼壓強也就相當。

我們在家中就可以做這樣的實驗，将兩個杯子疊放在一起，然後将上方的杯子打孔，與下方的杯蓋貫通，将我們平時用的U型虹吸管放置在其中。

在家也能做的實驗

随後往上方的杯子中加水，當水淹沒吸管時，其中就空氣流動了，于是兩個杯子的壓力就不一樣了，在壓強的作用下，虹吸管就會将水吸到下面的杯子中去。

所以在文獻中，如果皇帝使用九龍杯，将美酒斟滿的話，反而一口都喝不到，而如果隻倒半杯，那就可以心滿意足地喝到啦。

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