學習了解分式方程以後，不少同學把增根與無解混為一談，為了掌握這兩個概念，現舉例說明它們的區别和聯系.

一.什麼是分式方程的增根？

解分式方程時，由于在去分母把分式方程轉化為整式方程這一變形中，未知數允許取值的範圍擴大了，分式方程本身隐含着分母不為零的條件，如果轉化過程中，方程的兩邊同乘了一個可能使分母為零的整式，即整式方程的根恰好有使原方程中分母的值為零，那麼就會出現了不适合原方程的根，即增根，如:

解方程:1/x 3/(x一2)=一2/[x(x一)]......<1>

解:去分母，得(x一2) 3x=一2.......<2>

解得x=0

檢驗，x=0時原方程無意義.

所以，x=0是增根，原方程無解.

顯然，方程<1>中x≠0且x≠2，而去分母化為方程<2>時，未知數x的取值範圍擴大為全體實數，由方程<2>解出的未知數的值有可能不是原方程<1>的解，有可能出現增根，困此要檢驗.

那麼怎樣才能求出分式方程的增根呢？分式方程的增根必須滿足兩個條件，①分式方程去分母變為整式方程後，這個整式方程有解，增根是這個整式方程的解;②增根使分式方程的分母為零(或使最簡公分母為零.

如，關于分式方程3/(x²一x) 6/(1一x²)=7/(x² x)的增根情況，下列說法正确的是(_____)

A.有增根是0和一1.B.有增根是0和一1、1

C.有增根是一1，D.有增根是1

一般，學生會假定最簡公分母x(x 1)(x一1)，得出B選項，那就錯了.先看解答.

解:方程去分母得，3(x 1)一6x=7(x一1)

解得x=1，

檢驗，x=1時，x(x 1)(x一1)=0

所以，x=1是增根，原方程無解.

通過解答應選(D)，所以說，求增根應通過動手計算才能得出，不能用最簡公分母為零求得，這裡x=1，滿足上面所說的兩個條件，是增根，而x=0或x=一1就不是化簡後整式方程的根，就不是增根，盡管它們能使最簡公分母為零.

二.解分式方程"必須檢驗”的原因

解分式方程比解整式方程的步驟多一步檢驗，這個檢驗不是檢驗計算過程是否正确，而是檢驗是否出現在化整式方程時所乘的最簡公分母是否為0，當它為0時，未知數的值就是方程的增根.增根是方程正常變形造成的，不是解題中運算造成的，因此解分式方程時要檢驗求得的整式方程的根是否是增根.

三.什麼是分式方程的無解？

方式方程的無解是指分式方程本身就是一個矛盾等式，不論未知數取何值都不能使方程兩邊的值相等.如2/x=0，不論x取何值，都不能使方程成立，這個方程無解.分式方程無解包括兩種情況:一種情況是分式方程變形後，整式方程本身無解;另一種情況是整式方程有解，但這些解使最簡公分母的值都為零，即為分式方程的增根，所以原分式方程無解.

例1.解方程.(x一1)/(2 x)=(3一x)/(2十x) 2

解:方程兩邊同乘(2 x)，得

x一1=3一x 2(2 x)

整理得0x=8

此方程無解，所以原分式方程無解.

例2，解方程x/(x一1)一1=3/[(x一1)(x 2)]

解:方程兩邊同乘(x一1)(x 2)，得

x(x 2)一(x一1)(x 2)=3

整理得x十2=3

解得x=1

檢驗，x=1時，(x一1)(x 2)=0，故x=1是原分式方程的增根，原分式方程無解.

以上兩例造成分式方程無解的原因不同，例1方程無解是因為分式方程化為整式方程後，整式方程本身無解，例2是分式方程化為整式方程後，整式方程有解，但這個解是增根，則原分式方程無解.

三.有增根的分式方程就是無解方程，無解的分式方程一定有增根嗎？

有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根.如，

解方程:2x/(x十1)十1/(x²十x)=(x十1)/x.

解:去分母，得x(x一2)=0

解得x=2或x=0，此時x=0是增根，原方程并非無解，還有一根x=2，而像方程(x十2)/x=1，去分母化為，0=一2，此方程雖無解，但原方程無增根.

四.在分式方程有增根或無解條件下，如何求含參數的值呢？

(一)在分式方程有增根條件下求參數的值

我們知道，增根不是原分式方程的根，但它是去分母後所得整式方程的根，同時增根還能使原方式方程的最簡公分母為零.利用這一點就能解一類含參數的習題.

例1.若關于x的方程1/(x一1) 2/(x 2)=K/(x² x一2)會産生增根，求K的值.

解:原方程去分母，得(x 2)十2(x一1)=K

因為原方程的最簡公分母為(x一1)(x十2)，所以方程的增根可能是x=1，或x=一2.若增根為x=1，代入(x 2) 2(x一1)=K，得K=3;若增根為x=一2，代入(x 2)十2(x一1)=K，得K=一6，

所以，K=3或K=一6時原方程會産生增根.

例2.m為何值時，關于x的方程2/(x一2)十mx/(x²一4)=3/(x 2)會産生增根？

解:原方程去分母，得2x 4 mx=3x一6

整理，得(m一1)x=一10

當m≠1時，x=一10/(m一1)

若方程産生增根，此時(x 2)(x一2)=0，x=2或x=一2

(1)若x=2，則一10/(m一1)=2，m=一4.

(2)若x=一2，則一10/(m一1)=一2，m=6.

綜上，當m=一4或6時，原方程産生增根.

(二)分式方程無解條件下求參數的值

例1.若關于x的方程(4一ax)/(x 2)=3無解，求a的值.

解:原方程變形，得4一ax=3x十6，即(a 3)x=一2

(1)當a 3=0時，a=一3，整式方程(a十3)x=一2無解，則原分式方程無解.

(2)當a 3≠0，即a≠一3時，有x=一2/(a 3)因原分式方程無解，故x 2=0，x=一2，∴一2/(a 3)=一2，解得a=一2.

綜上所述，當a=一2或a=一3時，原分式方程無解.

例2.若關于x的分式方程(x一m)/(x一1)一3/x=1無解，求m的值.

解:原方程兩邊同時乖以x(x一1)，得

x(x一m)一3(x一1)=x(x一1)

整理，得(m 2)x=3

(1)當m 2=0時，m=一2，整式方程(m 2)x=3，無解，則原分式方程無解.

(2)當m 2≠0，即m≠一2時，有x=3/(m 2)因原分式方程無解，∴x=0，或x=1，而x=0時整式方程為0=3，無解;x=1時，3/(m 2)=1，解得m=1.

綜上所述，當m=1或m=一2時，原分式方程無解.

五.分式方程出題時，出現增垠與無解該如何區分？(或增根與無解是什麼關系)

常見有三種情況:

(一)無解=增根

如.當K為何值時，方程x/(x一3)一4=k/(x一3)無解.

解:方程兩邊同乘(x一3)，得

x一4(x一3)=K

整理，得x=一(K一12)/3，因為方程無解，所以x=一(K一12)/3是分式方程的增根，而由x一3=0，得增根是x=3，∴一(K一12)/3=3，解得K=3，

此題中，無解與增根，意義一樣.

(二)無解>增根，有些題目中無解比增根的範圍大，如:

若關于x的分式方程(2a 1)/(x 1)=a無解，則a的值是多少？

解:分式方程兩邊同乘(x 1)，得

2a 1=ax十a，即ax=a 1

未知數x前邊帶了含字母的系數，需讨論

(1)若a=0時，則整式方程無解，原分式方程也無解.

(2)若a≠0，則x=(a 1)/a，∵分式方程的增根為x=一1，若分式方程無解，則(a十1)/a=一1，解得a=一1/2.

∴當a=0或a=一1/2時，原方程無解.

此時，無解>增根，若此題改為，若關于x的分式方程(2a 1)/(x 1)=a有增根，則a的值為多少？就不存在a=0的情況了，隻能是a=一1/2.

(三)無解≠增根

如，方程1/(x一5)=0，此方程無解，也并不是因為增根造成的無解，所以這種情況，無解≠增根.

【總結】通過上例分析，對分式方程涉及無解和增根問題，求解方法如下:

(1)找準最簡公分母，并使分式方程兩邊每一項同時乘以它，得到一個整式方程.

(2)整理所得的整式方程，化為ax=b的形式

(3)觀察未知數x的系數

①當未知數的系數是不含字母的數字時，此時原分式方程的無解或有增根是一樣的，都隻有唯一的答案，隻需直接解出未知數的值，這個值使得最簡公分母為零，從而求出相應的字母的值即可.

②當未知數的系數是含有字母的單項式或多項式時，此時原分式方程無解或有增根的情況就不同了.無解，要分整式方程無解(未知數的系數等于0)和整式方程有解(未知數的系數不等于0)，但分式方程無解(最簡公分母等于0)兩種情況讨論.增根，隻是無解的一種情況，解出整式方程後，滿足最簡公分母為0，再求出相應字母的值即可.

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