從前，有一個窮光棍，平時隻知好吃懶做，不肯踏踏實實做事情，還經常想入非非做發财夢。一天，他在路邊撿到一個雞蛋，他非常高興，捧着雞蛋就在腦子裡就盤算開了："我借别人的母雞把這個蛋孵成小雞，等小雞長大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成雞，這些雞又可以生更多的蛋，蛋又可變成更多的雞……過不了幾年，我就可以把蛋和雞去換許多錢，然後可以蓋新房，還可以娶個漂亮媳婦，生兒育女……"他越想越高興，不禁得意忘形手舞足蹈，忽聽"啪"的一聲，雞蛋掉在地上，碎了！懶漢看着摔碎了的雞蛋，放聲痛哭："哎呀，我的寶貝！我的房子呀！……"

　上面這則笑話流傳已久，對我們很有教育意義，然而恐怕誰都沒有認真計算過：如果雞蛋沒有打碎，幾年後這個懶漢究竟有多少隻雞，多少個蛋呢？不過公元1202年，一位意大利比薩的商人斐波拉契（Fibonacci，約1170－1250？）在他的《算盤全書》（這裡的"算盤"指的是計算用沙盤）中提出過一個"養兔問題"，卻被無數人算過。這道題說的是：

某人買回一對小兔，一個月後小兔長成大兔。再過一個月，大兔生了一對小兔，以後，每對大兔每月都生一對小兔，小兔一個月後長成大兔。如此下去，問一年後此人共有多少對兔子？

　你能算清嗎？不少同學恐怕看完題就已經動手算了，而且很快就算出了答案。不過對不對可不敢保證。說實在的，這題要算對并不那麼容易，這可要不慌不忙細心地算才行。

通常可以列一個表來算這個題：

　　填了幾行後，你就可以總結出幾條結論：

　　（1）每個月的大兔子數就是上個月的兔子總數。（因上個月的小兔這個月都長成大兔）

　　（2）每個月的小兔子數就是上個月的大兔數。（因上月大兔子這個月都需生一對小兔，而上個月的小兔這個月長成大兔但不生兔子。）由（1）可知：每月小兔數就是前月的兔子總數。

　　（3）每月兔子總數是當月大、小兔子數的和。由（1）、（2）知每月兔子數就等于上月與前月這兩個月兔子數的和。

　　若記第n個月的兔子數為fn，就有

　　f0＋f1＝f2，f1＋f2＝f3，f2＋f3＝f4……

　　一般的，有fn-2＋fn-1=fn。有了這個規律，填這個表就很容易了。

　　你看，養一對兔子，一年之後就會發展壯大成了一個養兔場了。

　　按這個規律，可以把兔子數一直寫下去：

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……。

　　這樣得出的一列數就稱為"斐波拉契數列。"

波蘭數學家史坦因豪斯在其名著《數學萬花筒》中提出一個問題：

一棵樹一年後長出一條新枝，新枝隔一年後成為老枝，老枝又可每年長出一條新枝，如此下去，十年後新枝将有多少？這恰好也可以得到"斐波那契數"。

在斐波納契向西方引入現代數字之後，仍然需要引入一些符号來将算術轉換為現代符号。這些曾經是：

· 德國數學家約翰内斯·威德曼于1489年引入的加号（ ）和減号（-）。

· 威爾士數學家羅伯特·雷科德在1557年引入的等号（=）。

· 乘法符号（x）由英國數學家威廉·奧特雷德在1631年引入。

· 分數符号（÷）由瑞士數學家約翰拉恩于1659年在他的着作蒂徹代數學中引入。

人們從"斐"數出發得到了很多有益的和有趣的結果。比如"斐"數與黃金分割（0.618）的關系，直到現在還在優選法和運輸調度理論中起着基本原理的作用；又如種向日葵的農場主在葵花籽的分布規律上發現了"斐"數，乃至好多植物的花瓣葉序上發現的"斐"數奇觀形成了至今未解的"葉序之迷"。可見一個"養兔問題"竟揭示了大自然的一個普遍存在的奧秘。

自古以來，人類就從植物中看到了數學特征：花瓣對稱地排列在花托邊緣，整個花朵幾乎完美無缺地呈現出輻射對稱形狀，葉子沿着植物莖稈相互疊起，有些植物的種子是圓的，有些呈刺狀，有些則是輕巧的傘狀……所有這一切向我們展示了許多美麗的數學模式。

科學家發現，植物的花瓣、萼片、果實的數目以及其他方面的特征，都非常吻合于一個奇特的數列——著名的斐波那契數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……

這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。 在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1) F(n-2)（n≥2，n∈N*）它廣泛存于在現代物理、準晶體結構、化學等領域，列昂納多·斐波那契（1170---1250）是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他也是斐波那契數列的發明者，一個不平凡的意大利數學家。美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜志，用于專門刊載斐波納契數列方面的研究成果。

你看， 向日葵種子的排列方式，就是一種典型的數學模式。仔細觀察向日葵花盤，你會發現兩組螺旋線，一組順時針方向盤繞，另一組則逆時針方向盤繞，并且彼此鑲嵌。雖然不同的向日葵品種中，種子順、逆時針方向和螺旋線的數量有所不同，但往往不會超出34和55、55和89或者89和144這三組數字，這每組數字就是斐波那契數列中相鄰的兩個數。前一個數字是順時針盤繞的線數，後一個數字是逆時針盤繞的線數。

還有，雛菊的花盤也有類似的數學模式，隻不過數字略小一些，菠蘿果實上的菱形鱗片，一行行排列起來，8行向左傾斜，13行向右傾斜。挪威雲杉的球果在一個方向上有3行鱗片，在另一個方向上有5行鱗片。常見的落葉松是一種針葉樹，其松果上的鱗片在兩個方向上各排成5行和8行，美國松的松果鱗片則在兩個方向上各排成3行和5行……

如果是遺傳決定了花朵的花瓣數和松果的鱗片數，那麼為什麼斐波那契數列會與此如此的巧合?這也是植物在大自然中長期适應和進化的結果。因為植物所顯示的數學特征是植物生長在動态過程中必然會産生的結果，它受到數學規律的嚴格約束，換句話說，植物離不開斐波那契數列，就像鹽的晶體必然具有立方體的形狀一樣。由于該數列中的數值越靠後越大，因此兩個相鄰的數字之商将越來越接近O．618034這個值，例如34／55=O．6182，已經與之接近，這個比值的準确極限是"黃金數"。

車前草是西安地見的一種小草，它那輪生的葉片間的夾角正好是137·5。按照這一角度排列的葉片，能很好地鑲嵌而又互不重疊，這是植物采光面積最大的排列方式，每片葉子都可以最大限度地獲得陽光，從而有效地提高植物光合作用的效率。數學中，有一個稱為黃金角的數值是137．5。，這是圓的黃金分割的張角，更精确的值應該是137．50776。。與黃金數一樣，黃金角同樣受到植物的青睐。137.5°有何奇妙之處呢？如果我們用黃金分割率0.618 來劃分360°的圓周，所得角度約等于222.5°。而在整個圓周内，與222.5°角相對應的外角就是137.5°。所以137.5°角是圓的黃金分割角，也叫黃金角。經科學家實驗證明，植物之所以會按照黃金角——137.5°排列它們的葉子或果實，是地球磁力場對植物長期影響而造成的。

建築師們參照車前草葉片排列的數學模型，設計出了新穎的螺旋式高樓，最佳的采光效果使得高樓的每個房間都很明亮。1979年，英國科學家沃格爾用大小相同的許多圓點代表向日葵花盤中的種子，根據斐波那契數列的規則，盡可能緊密地将這些圓點擠壓在一起，他用計算機模拟向日葵的結果顯示，若發散角小于137．5。，那麼花盤上就會出現間隙，且隻能看到一組螺旋線；若發散角大于137．5。，花盤上也會出現間隙，而此時又會看到另一組螺旋線。隻有當發散角等于黃金角時，花盤上才呈現彼此緊密鑲合的兩組螺旋線。

所以，向日葵等植物在生長過程中，隻有選擇這種數學模式，花盤上種子的分布才最為有效，花盤也變得最堅固壯實，産生後代的幾率也最高。這也是植物在大自然中長期适應和進化的結果。

科學家在對三葉草、垂柳、睡蓮、常青藤等植物進行了認真的觀察和研究之後，發現植物之所以擁有優美的造型，在于它們和特定的"曲線方程"有着密切的關系。其中用來描繪花葉外孢輪廓的曲線稱作"玫瑰形線"，植物的螺旋狀纏繞莖取名為"生命螺旋線"。 笛卡兒，法國17 世紀著名的數學家，以創立坐标法而享有盛譽。他在研究了一簇花瓣和葉子的曲線特征之後，列出了"x3 y3-3axy=0"的曲線方程式，準确形象地揭示了植物葉子和花朵的形态所包含的數學規律性。這個曲線方程取名為"笛卡兒葉線"或"葉形線"，又稱作"茉莉花瓣曲線"。如果将參數a 的值加以變換，便可描繪出不同葉子或者花瓣的外形圖。

不僅花成為數學家描述的對象, 而且植物的葉也成為數學家研究的材料。19 世紀, 德國數學家勒· 哈柏尼赫特從事了這方面的工作。他的研究成果都發表在《葉形分析》一書中, 得到了能夠确切地表示三葉草、酸模、常春藤、械樹和柳樹等植物葉片的方程。特别是白花醉漿草, 俗稱三葉草, 許多大自然的愛好者都認識它, 哈柏尼赫用方程式表示出來。在極坐标中, 根據這個方程畫出了醉漿草葉片形狀。另一位數學家缪格爾完成了表示水生觀賞植物睡蓮葉片的數學方程, 。在極坐标中, 這個方程是個橢圓, 被稱為" 缪格爾橢圓" 。研究這些曲線有沒有實際意義呢? 可以肯定地回答, 所有這些曲線的研究在數學與技術的發展中起到過不小的作用。例如: 薔薇花是描述某些機械裝置的點軌迹的模式, 說明薔薇花與旋輪線之間的關系; 對數螺旋線的性質已在某些機械(如切草機的旋轉刀) 和水利技術(如通向水輪機的水管)得到很好的應用。

根據斐波那契數列，可以畫出斐波那契螺旋線，也稱為黃金螺旋線。

在上圖中，中間的兩個小正方形邊長都為1，從這兩個正方形出發，沿着順時針方向畫出一些四分之一扇形，這些扇形的半徑長度就符合斐波那契數列。

很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618.（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618）。它的通項公式可以寫為：

斐波那契數列頻繁的出現在我們日常的生活中，比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀、黃金矩形、黃金分割、等角螺線、十二平均律等。

（1）.排列組合.

　有一段樓梯有10級台階,規定每一步隻能跨一級或兩級,要登上第10級台階有幾種不同的走法?

　這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……

　1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種

（2）.數列中相鄰兩項的前項比後項的極限.

　就是問，當n趨于無窮大時，F(n)/F(n 1)的極限是多少？

這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1 √5)/2，這個就是所謂的黃金分割點，也是代表大自然的和諧的一個數字。

（3）.求遞推數列a(1)=1,a(n 1)=1 1/a(n).的通項公式.

由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n 1)/F(n).将菲波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。

參考文獻：1. 紅豆居士，震撼心靈的幾何之美——斐波那契數列；

2.山右，神奇的植物與數學------斐波那契數列

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