走近數學（3）

—— 數學與智慧之二（分類處理）

馮躍峰

本文介紹“分類處理”在生活實際中的應用。

分類是數學中最常用的方法之一，在其外在形式上，表現為“化整為零，各個擊破”。但其本質，是人為地“增設條件”。因為每一個分類前提，将讨論的對象限定在一個具有某種性質的較小範圍，從而使問題變得容易處理。

下面舉幾個生活實際中利用分類處理的方法的例子。

例1、南朝齊的開國皇帝蕭道成（427年～482年），人稱南齊太祖，擅長書法，而且不樂意自己的書法水平低于臣下。

一天，齊太祖提出，要與當時書法藝術蓋世的大書法家王僧虔（426年—485年）比試。

君臣二人各自認真書寫完一幅楷書後，齊太祖頗為自信地問王僧虔：“你說說，誰第一，誰第二？”

這下可為難了王僧虔：說自己第一吧，恐齊太祖不高興，甚至還會招來殺身之禍；說齊太祖第一吧，自己又不甘認輸，放不下這個面子。

隻見他靈機一動，采用了巧妙分組的策略，度過了難關：“臣的書法，人臣中第一；陛下的書法，帝王中第一。”

齊太祖聞之，雖不很高興，但其所言屬實，隻好一笑了之。

我們知道，将衆多的人放在一起排名次，難免有旗鼓相當的人難分上下，有失公允。如果将他們歸入不同的組，則可在不同組中分居第一，便可皆大歡喜。

這一方法其實被普遍運用的，比如，體育比賽中各種形式的小組賽，都是自覺或不自覺地運用了這一思想方法。

我們再看下面一個“碎花瓶理論”問題——

例2、丹麥物理學家雅各布·波爾不小心打碎了一個花瓶，但他沒有一味地悲傷歎惋，而是俯身精心地收集起滿地的碎片。他把這些碎片按大小分類稱出重量，結果發現：10～100克的最少，1～10克的稍多，0.1～1克和0.1克以下的最多。

同時，這些碎片的重量之間表現為統一的倍數關系，即最大塊的重量是次大塊的重量的16倍，次大塊的重量是小塊的重量的16倍，小塊的重量是小碎片的重量的16倍，…

後來，人們利用他的“碎花瓶理論”來恢複破損的文物、隕石等不知其原貌的物體，給考古學和天體研究帶來了意想不到的效率。

顯然，雅各布·博爾雖然使用的是物理學的手法：稱碎片的重量。但他采用的思維方式卻是數學的：首先是對碎片按大小分類，這是數學處理問題的常用方法；其次是研究各碎片重量之間的數量關系，而不是研究它們的物理特性。最重要的是，研究的數量關系，并非是所有碎片之間的關系，而是不同組中碎片重量之間的關系，它相當于得到“相鄰”兩組重量之間的一個關系“遞歸式”。因而可以說，他幾乎是從數學的角度觀察這些碎片，進而發現了“碎花瓶理論”的。

最後介紹我們用數學方法，使一個“世紀難題”得到徹底解決的例子。

例3、有一個衆人皆知的兩難選擇問題，從上世紀到本世紀，似乎一直沒有很好的解決方案，姑且稱之為“世紀難題”。這個兩難選擇問題就是——

女友問：“如果我和你媽同時掉水裡，你先救誰？”

這個問題着實不好回答。若說先救母親，又恐女友說他對她的感情不深；若說先救女友，又恐女友說他不孝順。

似乎很難有兩全的回答，其實不然。——我們利用數學方法，可以使該問題得到徹底解決。

當我們遇到的問題，找不到一個劃一的的解決方案時，數學解決這類問題的常用技巧是分類處理：即采用“如果…，則…；如果…，則…”的“各個擊破”的處理方式。

為了找到恰當的分類，先看問題提供了什麼條件。顯然，條件是一個假想的情境：“假設我和我你媽同時掉水裡”，既然情境是假想的，我們也不妨增設一個假想的條件，使問題容易解決。

由于“假設”的前提，隻描述了兩個人同時掉水裡，至于在水裡什麼位置并沒有具體描述。這就可依據掉水裡兩人與自己的相對位置，來确定自己的施救方案。于是，一種合乎情理的回答方式由此産生。

男友：“如果母親離我較近，則先救母親；如果女友離我較近，則先救女友。”

但這一回答過于羅唆，可将它們合并為一個回答：“先救離我較近的人。”

當然，女友可能會不依不饒，繼續追問：“如果兩人離你一樣近呢？”

此時，男友仍可繼續增加“假設”，設置角度參數，機智地避開“相同”，尋找兩者的差别，從而進行有效選擇。應對方案如下——

男友：“這樣的話，她倆在以我為圓心的同一個圓周上。我沿眼光的方向，按逆時針方向進行掃描，誰的轉角小我就先救誰。”

因為兩點在同一個圓周上時，相對于特定方向的轉角是不同的，必定有一個轉角小些，使得“施救”對象被确定的理由非常充分，女友再也無法為難你了。

以上處理方法，采用的是“增加假設前提”的策略。當一個兩難選擇問題不能簡單地回答“是”或“不是”時，不妨對所提問題，增設不同的前提，在“相同”中尋找“不同”。然後依據不同的前提假設，采用不同的應對方式。

值得指出的是，在“相同”中尋找“不同”，其不同點應該是随機出現的，而不應該是事先固有的，否則你的決策方案就有“偏心”的嫌疑。比如，女友與母親一個顯然的不同是年齡。如果回答“先救年齡大的”，女友肯定不滿意這個答案，盡管這個選擇确實有一定的道理。

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