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大學數學必刷題洛必達法則

教育更新时间:2024-12-21 13:06:13

有一道這樣的題:

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）1

對于恒成立問題，我們首先嘗試分離參數的辦法。

為把m分離出來，我們需要做一些等價變形。

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）2

上面的變形過程中，對x是否等于0不可遺漏。

研究函數f(x)最大值的方法當然還是求導數。

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）3

為簡化研究過程，我們把分子部分看作一個新函數.這也是導數部分的常用技巧之一。

這裡的技巧之二就是抓特殊點的函數值，本題g(0)=0,g'(0)=0。

如法炮制，我們把分子部分再次看作一個新函數。

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）4

顯然，函數h''(x)有唯一零點0.由此我們能夠逐步地反推出原函數f(x)的單調性。

這個過程非常有趣。

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）5

從上面的分析我們知道，f'(x)的符号是由分母決定的。

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）6

這種情況下，怎麼可能求出最值呢?

我們注意到:

這使我們想到“洛必達”法則。首先我們要了解這個法則的使用條件。

當我們遇到除式形如“零比零”、或者“無窮比無窮”、或者“零乘以無窮”的時候，可以采用洛必達法則求出它的極限值.請注意，“零乘以零”，“無窮乘以無窮”的形式，不用洛必達法則。

當滿足這個條件時，極限值可以通過對分子和分母同時求導得到。

大學數學必刷題洛必達法則（你會用洛必達法則嗎）7

由此，我們求出m的取值範圍。

當然，本題不用分離參數的辦法，而是采用含參讨論的方法也能做，也不算太麻煩。

而且，在高考中用洛必達法則是有風險的。

在中學階段還是以讨論法為主.因為它保險。

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