#頭條創作挑戰賽#

學過高數或者愛好數學的小夥伴們肯定知道或者聽說過實數具有完備性，而有理數或無理數就不具有完備性。那麼你知道有理數和無理數為什麼沒有完備性嗎？老黃這裡就要和你好好唠唠這個問題。

所謂完備性，可以理解為，數集内的運算，包括求極限，都是封閉的。即，實數的運算結果都是實數，求極限的結果也都是實數，所以說實數有完備性。而有理數集的極限有可能是無理數，無理數集運算的結果和極限也都有可能是有理數，所以它們都不是封閉的，因此都沒有完備性。在不同的數學範疇内，對完備性的理解可能會有所不同，這裡就不做詳述了。下面主要針對有理數集不具有完備性進行數學分析。

在高數中，我們也可以用實數完備性的六大基本定理來解析。而有理數集中很明顯并不符合确界原理，單調有界原理，聚點原理、區間套定理以及柯西收斂準則。六個基本定理中，有五個不滿足，因此有理數集并不具備完備性。

你能舉例說明有理數集内，這五個基本定理都不滿足嗎?

解：設an=(1 1/n)^n, bn=(1 1/n)^(n 1), (n=1,2,…)【我們可以取這兩個有理數列，它們在高數中經常被使用，因為它們的形式非常相似，但單調性卻完全相反】

{an}是單調遞增的有理數列，{bn}是單調遞減的有理數列，【這在《老黃學高數》系列視頻第76講中，有過相關證明】

且lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=e，e為無理數. 【可見這兩個數列都以e為極限，e就是自然常數，它是一個無理數。按完備性的概念，這裡已經可以得出有理數沒有完備性的結論了。至于無理數集，要證明它沒有完備性就更簡單了，比如根号2-根号2=0，結果是一個有理數，所以無理數集沒有完備性。也可以構造根式數列，使它們的極限等于一個有理數，比如根号(n^2 1) /n,這是一個無理數列，但它的極限等于1，也是一個有理數。不過這一講的内容，主要是判斷有理數集不具有五個基本定理，所以解題還需要繼續進行。】

(1)點集{an|n=1,2,…}非空有上界,但在有理數集内無上确界；【因為任意兩個有理數之間都存在無理數，所以任何上界，都至少存在一個正無理數，使它減去這個正無理數之後，仍是點集的上界。因此沒有上确界。或者直接說成，an的上确界是無理數e，應該會更容易理解一點】

類似的，點集{bn|n=1,2,…}非空有下界，但在有理數集内無下确界.

即在有理數集内，确界原理不成立. 【其實上面兩個點集，隻要确定一個，就可以判定了，即有一個不符合确界原理，就可以肯定确界原理在有理數集不成立了】

(2)數列{an}單調遞增有上界，但在有理數集無極限；

數列{bn}單調遞減有下界，但在有理數集無極限.【因為極限都是無理數e】

即在有理數集内，單調有界原理不成立.

(3)點集{an|n=1,2,…}有界無限，但在有理數集無聚點.【因為在實數範圍内，唯一的聚點是無理數e】

即在有理數集内，聚點定理不成立.

(4)數列{an}滿足柯西收斂條件，但在有理數集内無極限.

即在有理數集内，柯西收斂準則不成立.

(5){[an,bn]}是一個閉區間套，但在有理數集内不存在一點ξ，使得ξ∈[an,bn], n=1,2,…【因為兩個點集在有理數集上都沒有聚點，更不可能有相同的有理數聚點了，因此，這個區間套不能确定一個有理數點】

即在有理數集内，區間套定理不成立.

當然，六大基本定理中，還有一個有限覆蓋定理，在有理數集上倒是成立的。不過那樣意義不大，改變不了有理數沒有完備性的事實。類似的，我們也可以證明無理數的這五個基本定理都不成立。你能自己證明嗎？

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