對于十八世紀的數學界而言，歐拉無疑是最偉大的人物，而除去歐拉之外，最響亮的名字無疑是拉格朗日。他不僅是有名的數學家，還是物理學家，他的學術領域不僅涉及數學、物理學，還有分析力學、天體力學。作為法國數學著名的"三L"之首（其餘二人為拉普拉斯和勒讓德），拉格朗日為法國數學走向輝煌奠定了堅實基礎 。由于出衆的貢獻，拉格朗日頗受拿破侖的器重，并被這位高傲的皇帝稱贊為"數學這門學科中高聳的一座金字塔"。

數學近兩百年來的許多成就都可以直接或間接追溯到拉格朗日的工作上，而對于分析學及相關學科而言，他是整個數學史上最具影響力的幾個數學家之一。

01 把數學研究與數學教育相結合

拉格朗日（Lagrange, Joseph Louis, 1736—1813）于1736年1月25日出生在薩爾丹尼王國（現在意大利的一部分）的都靈。其祖籍在法國的都萊奴，他與笛卡兒是遠親。從拉格朗日的曾祖父開始離開法國定居在薩爾丹尼。其曾祖父作了薩爾丹尼國王埃瑪努來二世的侍從。其父曾做過陸軍校官會計，由于投機倒把，财産被一掃而空。

拉格朗日從都靈學校畢業後，隻能靠自己維持生活，成天陷入繁雜忙亂的事務之中，并沒有遠大志向，對數學也沒有多大興趣，隻是愛好文學。

一天，拉格朗日偶爾看到了數學家哈雷（Halley, Edmund, 1656—1742）的一篇論文，受到很大啟發，該文寫的是關于牛頓在微積分方面的重要文章，仍沿用歐幾裡得思想方法，他冥思苦想，試圖建立新的觀點，從此，産生了極大興趣，開始傾心于對數學的研究，這時他隻有17歲。

當拉格朗日18歲時，到都靈炮兵學校教數學。在這所學校，大部分學生都比拉格朗日年齡大，其工作艱辛是可想而知的。然而，他刻苦努力，進步之快，令人震驚。他定期召開讨論會，自己創辦雜志，很快成了數學通。他的數學成績突飛猛進，碩果累累，當他19歲時，就成了都靈皇家炮兵學校的數學教授。一個不足20歲的青年躍居到數學家的行列，足見其短短幾年在數學領域所作出的貢獻了。

拉格朗日喜歡寫作，主要是數學方面的論文。他寫作非常精心，他的論文叙述通俗，文字清楚、優美。

拉格朗日的最大特點是：把數學研究與數學教育相結合，勤奮好學，能使自己的想法與前人的成果結合起來進行探索，又由于他處在資産階級大革命時代，當時對科學和教育十分重視，在這個環境十分優越的時代，加上他的天資和勤奮，緻使他在許多領域取得了驚人的成就。

02 在天體力學與分析力學的卓越貢獻，"分析二世"

拉格朗日23歲時，就解決了數學大師歐拉和達朗貝爾長期研究而未解決的"等周問題"。後又解決了更難的"六體（太陽、木星及其四個衛星）問題"。他還證明了"每一個整數都能變成四個或少于四個整數的平方和"。此被稱為拉格朗日定理。

1762年，法國科學院懸賞征集，付費答題，提問關于月球自轉，并且自轉時總是以同一面對着地球的難題。拉格朗日用自己的研究成果成功地解決了這一問題，并獲得了科學院的大獎。拉格朗日的名字也第一次進入整個歐洲科學界的視野。兩年之後，法國科學院又提出了一個複雜的"六體問題"，也就是木星及其4個衛星和太陽之間的攝動問題。拉格朗日通宵數日，潛心研究，終于用近似解法找到了答案，從而再度獲獎。而這次獲獎，讓他的大名更是傳遍世界。

與其他數學家不同的是，拉布朗日從一開始就是一位數學分析方面的研究者。

這也反映了，分析是那個時代最熱門的數學分支。比如在他出版的圖書《分析力學》中，前言就這樣寫道：在這本書中你找不到一幅圖。也就是他的圖書中沒有任何數學圖像，純粹是數學分析和推理。就像我們學的拉格朗日中值定理那個樣子的，純粹是函數的導數和直線的變化率之間的關系。

對于當時的天體力學而言，拉格朗日既不是第一人，也不是成就最大的（集大成者當屬拉普拉斯），但對于分析力學而言，拉格朗日無疑是"上帝"一般的人物，僅僅是一個拉格朗日方程，便足以讓他名留青史。

《分析力學》這本書是拉格朗日19歲時就構思好的，但是在他52歲時才出版。這本書，被19世紀的數學家漢密爾頓贊譽為"科學的詩"，也就是像詩歌一樣優美。

盡管拉格朗日以分析學上的成就著稱，但他在代數和數論上的成就在曆史上也占有一席之地。在 《關于解數值方程》和《關于方程的代數解法的研究》兩篇論文中，拉格朗日提出了"方程的預解"和"根的置換"這樣的概念，這實際上已經蘊含了置換群的思想。這樣的思想最終被伽羅瓦和阿貝爾繼承，并最終徹底解決了一般高次方程無根式解這一千年數學難題。

同時，拉格朗日在數論上的貢獻也不容小觑。首先他證明了費馬所遺留的兩個難題：證明一個正整數可以表示為不超過四個平方數之和 ；求不定方程x^2-Ay^2=1的整數解，其中A為非平方整數。拉格朗日不僅解決了這些即使在歐拉手裡也無能為力的難題，更重要地，他還提出了解決這些問題的基本理論，同時也對原問題進行了推廣，甚至考慮了更一般的情形。除此之外，他還證明了：

圓周率π是無理數；n是素數的充要條件為(n-1)！ 1能被n整除。

而事實上，他在很多方面都超越了歐拉，至少在分析和力學上是如此。因此我們看到，拉格朗日無愧為近代數學史上最具影響力的數學家之一。

03 歐洲第一流數學家

1766年，德國腓特烈大帝提出："歐洲第一大王，歡迎歐洲第一流數學家。"希望拉格朗日能接受邀請到德國來。拉格朗日愉快應聘。在柏林工作的二十年中，建立了家庭，但不美滿。妻子早逝。他把全部精力都投入了研究。寫了150多篇論文。

1787年，法國國王路易十六在魯維爾宮殿裡，準備了幾間房屋歡迎拉格朗日，于是拉格朗日決定返回祖國，定居巴黎，并被選為巴黎科學院院士。住在宮殿，榮升為貴族，但他仍刻苦鑽研。他有很多職務，但一直擔任大學數學教授，并從事教學工作，深受學生們的愛戴。他一生培養了許多專家和有用人才，幾乎各行各業的人都尊敬這位有才華的人物。

1791年，拉格朗日被選為英國皇家學會會員，又先後在巴黎高等師範學院和巴黎綜合工科學校任數學教授。1795年建立了法國最高學術機構——法蘭西研究院，拉格朗日被選為科學院數理委員會主席。此後，他才重新投身于研究工作，編寫了一批重要著作：《論任意階數值方程的解法》、《解析函數論》和《函數計算講義》等等，闡釋了自己對一般微積分理論的思考，我們非常熟悉的拉格朗日中值定理和拉格朗日差值公式就首次出現在這些著作中。

但囿于時代的限制，拉格朗日刻意回避"極限"這個概念，因此他并沒有真正解決微積分的本質問題，而"分析的嚴格化"這項劃時代的工作将由柯西和魏爾斯特拉斯等後人所徹底完成。

幾何及物理意義

由下圖可知，拉格朗日中值定理的幾何意義是非常直觀的，幾乎所有的教材都會介紹. 其 classical 證明就是基于幾何意義構造輔助函數.

其物理意義為： 物體從a沿着曲線f(x)運動到b的平均速度會等于某一時刻ξ的瞬時速度.

用通俗的語言解釋就是，在你的人生軌迹中，如果它是連續不間斷的，并且可到終點，那麼肯定在人生某個時刻，有一個人，Ta認定了，與你的人生位移同方向，陪你走完這一生。（單身狗的福利定理）

這一定理有着廣泛的應用，第一是用來證明等式、不等式與恒等式。第二是證明有關中值問題的結論，第三是研究導數和函數的性質，第四是證明方程根的存在性和利用中值定理求極限。這些應用對于數學研究有重要的作用。

1799年，在拉格朗日的領導下，巴黎科學院完成了統一度量衡的偉大創舉，提出了今天我們所使用的諸如十進制的米制單位等。比較有意思的是，當時有不少人想采用十二進制，但在拉格朗日的堅持下，最終還是采用如今廣為使用的十進制。

等到巴黎師範學院成立，拉格朗日被任命為教授，由于他太出名，之後又被任命為巴黎綜合理工學院的第一位教授，為拿破侖麾下的年輕的軍事工程師們講授數學，在衆多的學生中就有未來的數學家"柯西"。

04 結語

拉格朗日在整個一生中，以他欲望的适度和對人類命運的不可動搖的關切，以他生活的簡樸和品格的高尚，最後，以他科學工作的準确性和深刻性，證明了他是一位偉大的數學家，也是一位哲學家。"

整個十八世紀的數學為歐拉和拉格朗日所支配，在拉格朗日還活着的時候，他就被尊稱為歐洲最偉大的數學家，拿破侖更是親封他為伯爵，由此可見他在數學史上的地位有多高。我們常常贊譽歐拉為"分析的化身"，而作為歐拉思想的真正繼承人，拉格朗日完全算得上是"分析二世"，而事實上，他在很多方面都超越了歐拉，至少在分析和力學上是如此。因此我們看到，拉格朗日無愧為近代數學史上最具影響力的數學家之一。

1813年4月10日晨，拉格朗日病逝于巴黎。整理拉格朗日的業績，真可謂範圍廣，數量多。《全集》共十二卷，各卷用八開紙約700多頁。拿破侖當時曾稱贊拉格朗日道："他是當今世界上，把數學引向高峰的數學家。"

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