這是一道雷聲大，雨點小的中考數學壓軸題。題目的内容看起來十分高大上，解決起來卻非常簡單，是一道關于黃金分割的題目，在中考數學中算是比較少見的。

德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學裡有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割。如果把勾股定理比作黃金礦的話，那麼可以把黃金分割比作鑽石礦”。

如圖①，點C把線段AB分成兩部分，如果CB/AC=(√5-1)/2≈0.618, 那麼稱點C為線段的黃金分割點。

(1)特例感知：在圖①中，若AB=100，求AC的長；

(2)知識探究：如圖②，作⊙O的内接正五邊形；

①作兩條相互垂直的直徑MN、AI；

②作ON的中點P，以P為圓心，PA為半徑畫弧交OM于點Q；

③以點A為圓心，AQ為半徑，在⊙O上連續截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，連接AE；則五邊形ABCDE為正五邊形。

在該正五邊形作法中，點Q是否為線段OM的黃金分割點？請說明理由；

(3)拓展應用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優美的幾何圖形，與黃金分割有着密切的聯系。

延長(2)中的正五邊形ABCDE的各條邊，相交可得到五角星，擺正後如圖③，點E是線段PD的黃金分割點，請利用題中的條件，求cos72度的值.

題目這麼長，一開頭就搬出天文學家開普勒的名号，這是玩心理戰嗎？沒有過硬功底的考生，這樣的題目看一眼，都有可能直接暈掉投降了。不過這道題其實相當簡單，作為一道壓軸題，整道題可以說都是送分的。

解：(1)CB/AC=(AB-AC)/AC=(100-AC)/AC=(根号5-1)/2,

解得：AC=50根号5-50≈61.8.【建議盡可能保持與題幹的數據格式一緻，就是先求出準确值，再求出近似數】

(2)點Q是線段OM的黃金分割點，理由如下,

設⊙O的半徑為R，則OP=R/2，

PQ=AP=根号(AP^2 OP^2)=根号5 R/2，

MQ/OQ=(3-根号5)/(根号5-1)=(根号5-1)/2，

∴點Q是線段OM的黃金分割點.

(3)連接AD，過A作AF⊥PE于點F, 連接AD

記PD=2，則PA=PE=根号5-1，AE=DE=PD-PE=3-根号5，【一般記PD為1，或為常數a，老黃這裡記為2，能避免計算中的很多麻煩。同時老黃還運用了正五邊形是旋轉對稱圖形的性質 ，得到的PA=PE和AE=DE的關系】

正五邊形ABCDE中，∠AED=108度，∠AEP=180度-∠AED=72度，

∠ADE=(180⁰-∠AED)/2=36度，∴∠ADE=∠P，【五角星的五個角都是36度。如果不知道五角星的這個性質，就運用等腰三角形已知底角求頂角的知識來求就可以了。】

∴DF=PD/2=1，【等腰三角形底邊“三線合一”的性質】

EF=DF-DE=根号5-2，

cos∠AEP=EF/AE=(根号5-2)/(3-根号5)=(根号5-1)/4.

即cos72度=(根号5-1)/4≈0.309.

可能是因為題目中涉及到一些新知識，和比較少用的知識，所以出題人不想把題目出得太難，就變得很容易了。這樣的中考數學壓軸題，你喜歡嗎？

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