線性代數(高等代數)是進入大學之後學習代數的起點，和數學分析，解析幾何并稱數學三大基礎課。需要注意的是，一般理工科學的是線性代數，數學系學的是高等代數，高等代數相比于線性代數，除了内容上增加了多項式以外，難度和深度也有增加。當然，高等數學和數學分析所學的内容也有所區别，這裡就不再贅述。以如今的數學觀點來看，線性代數幾乎無處不在，它的概念與方法已經滲透到和數學相關的方方面面，這也正是為什麼線性代數如此重要的原因。

線性代數的課程内容基本上可以劃分為矩陣、線性空間，線性變換三大部分，每個部分裡還又可以分成若幹小部分。當熱，線性變換無疑是線性代數的核心内容，而對線性變化的研究又可以轉化為對矩陣的研究，如此看來，“矩陣”應當說是線性代數最核心的概念。而行列式又緊密着矩陣，因此行列式的重要性自然也不言而喻。今天我們就簡單地分析一下行列式和矩陣的一些淺顯性質和意義，限于篇幅和學識，就不過多的展開。

線性代數比較傳統的講法都是從解線性多元方程組開始，因為這樣可以自然地引出行列式和矩陣的概念。從數學的曆史發展來看，雖然行列式和矩陣看起來“非常相似”，但對行列式的研究早于矩陣。行列式的概念來源于日本的關孝和，而差不多一百年後才由克拉默正式提出了利用行列式解線性方程組的方法，也就是我們熟知的克拉默法則。

行列式的原始定義來源于解n×n型線性方程組，也就是把n×n個系數拿出來進行行列式運算。以完全數學的觀點來看，行列式是一個關于列的多重反對稱線性函數，至于怎麼去具體定義以及行列式的各種性質，這裡不再贅述。

特别要提到的是，行列式的性質與線性方程組的性質高度相關，我們都知道解線性方程組有著名的高斯消元法，也就是不斷地把前面的方程乘以一個常數加到後面方程中去，這樣就可以逐漸減少後面方程的未知數個數直到不能減少為止，然後通過解這個未知數最少的方程來逐漸解整個方程組。這裡可能會出現行列式為0的情形，也就是至少某兩個方程是等價的，而等價就是說進行高斯消元後其中一個是另一個的倍數，這樣的後果就是方程組的解不唯一，解将由一個或多個參數表達出來。粗略的說，解如果要唯一，那麼不等價方程的個數就要等于未知數的個數，這也就是求行列式的價值所在，它恰是判斷這一結果的标準。

行列式隻能定義為n×n的形式，因為它最早就是用來研究n×n型線性方程組的。關于這樣的線性方程組，著名的克拉默法則指出，如果一個線性方程組的系數行列式不為0，那麼它有唯一解并且可以用行列式表達出來。那麼一個自然的問題是，如果一個線性方程組的方程個數和未知數個數不一樣怎麼辦？這也就引出了矩陣的概念。但需要注意的是，矩陣并不是行列式的推廣，行列式是一種運算，而矩陣則是一個數學結構，或者說研究的對象。

類似于行列式中的形式，我們把方程組的系數拿出來構成一個所謂的系數矩陣，而把未知數和常數項分别拿出來構成一個列向量，再把系數和常數項重新組合成一個增廣矩陣。

實際上高斯消元法對這樣的方程組同樣有效，而且在這樣的表達形式下，我們隻需要對增廣矩陣進行操作就行了，那麼對方程組的研究就完全轉化為對矩陣的研究，實現了從具體到抽象的過程。對于數學而言，很多時候我們關心的是解的情況而不是去具體求出來，比如解的存在唯一性，或者不唯一的情況下用幾個參數能表達出來。

為了達到這些目的，就要引入矩陣的“秩”這個深刻概念。從一個a行b列的a×b矩陣中任意拿出n行n列(n≤a,b)構成一個方陣(也就是行數和列數相等的矩陣)，如果這個方陣的行列式不為0，就稱之為非奇異或可逆的，使得n×n方陣非奇異的最大的n就成為這個矩陣的秩，并且若n等于a和b中較小的一個，就稱之為滿秩(秩記為R)。實際上，可以看出，矩陣的秩實際上就是不等價方程的個數。接下來就可以證明，線性方程組有解的充分必要條件就是系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩(記為r)相等，進一步，解的參數有b－r個，如果b－r<0，那麼方程組不相容，也就無解。特别的，如果系數矩陣滿秩，那麼一定有解，因為此時增廣矩陣也滿秩。至此，線性方程組解的存在唯一性問題已經完全解決。

再考慮更一般的情形，也就是未知數也不止一列，此時把不同的未知數的列拿來構成一個矩陣，這樣就得到了矩陣的乘法含義，即系數矩陣乘以未知數列矩陣等于常系數列矩陣。由矩陣乘法定義可以看出，矩陣A和B可以相乘的條件是A的列數要等于B的行數。

可以看出，方陣是矩陣中最重要的一種，因為它可以求行列式。如果行列式不為0，這樣又引出矩陣的逆矩陣這樣的概念。方陣A在乘法的運算下，具有單位元，也即單位矩陣E(對角線全為1的矩陣)，滿足AE=EA=A。如果AB=BA=E,那麼稱B為A的逆矩陣。如果再回到線性方程組Ax=b上，如果A可逆，那麼在方程組兩邊左乘A的逆矩陣B，那麼x=Bb,這樣就直接解出了方程組！這也正是逆矩陣的原始意義。求逆矩陣的方法很多，這裡就不多說了。

線性空間又稱向量空間，取定一組基底後，線性空間中的元素完全由它在基底下的系數決定，那麼判斷若幹個向量是否線性相關就轉化為系數矩陣秩的問題。一個線性空間到自身的線性映射就稱為線性變換，取定一組基底後，線性變換将由它在基底下的矩陣(實際上是一個方陣)唯一決定。例如圖形的平移、旋轉和壓縮等都屬于線性變換。

在求多重積分的變量替換過程中，我們遇到過雅可比矩陣及其行列式，這個行列式擁有深刻的幾何意義。dx1dx2……dxn表示的是體積微元，我們知道變量替換要求雅可比行列式不為0，實際上雅可比行列式反應的是有向體積元在線性變換下的伸縮情況，因為微分可以看作切空間上的線性變換。如果雅可比行列式為0，那麼線性變換不可逆，它把高維的空間映射到低維空間，一一對應就不複存在，很多東西就失去意義。

行列式的幾何意義通過這種方式得到了粗略的解釋，但行列式所能表達的意義遠不止于此，例如它還能表示出向量的外積，多面體的體積等等，當然，核心思想都是相似的。

我們從線性方程組出發，簡單分析了行列式和矩陣這兩個概念，又在線性變換這一核心内容下重新觀察了矩陣及其行列式。但不得不說的是，關于矩陣的内容博大精深，我們所說的這些連九牛一毛都算不上，充其量隻算是引出概念。我們的介紹到這裡就告一段落，感興趣的朋友們可以參看相關的書籍。

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