對于30°，45°，60°角的三角函數值，我們都可以通過定義利用特殊直角三角形三邊的關系計算，那麼碰到像15°，22.5°，67.5°等特殊角的三角函數能否計算呢？答案是肯定的，可以構造相關圖形，數形結合進行巧算。

一.巧構造15°與30°角的關系的圖形計算15°角的三角函數值

1.求sin15°，cos15°，tan15°的值.

【分析】我們已熟記30°角的三角函數值，因為15°角為30°角的1/2，則可利用含30°角的直角三角形構造出含15°角的直角三角形，從而求出15°角的三角函數值，如圖，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，延長CA到D，使AD=AB，連接BD則∠D=15°，設BC=a，則AB=2a，AC=√3a，∴AD=2a，CD=(2 √3)a，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=√[a² (7 4√3)a²]=√2a×√(4 2√3)=√2a×√(√3 1)²=(√6 √2)a，∴sin15°=sinD=BC/BD=a/(√6 √2)a=(√6一√2)/4，cos15°=cosD=CD/BD=(2 √3)a/(√6 √2)a=(√6 √2)/4，tan15°=tanD=BC/CD=a/(2 √3)a=2一√3.

二.巧構造22.5°與45°角的關系的圖形計算22.5°角的三角函數值

2.求tan22.5°的值.

【分析】與第1題類似，利用22.5°=45°/2，在含45°角的直角形的基礎上構造22.5°角，如圖

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延長CA到D，使DA=AB，連接BD，則∠D=22.5°，設AC=BC=a，則AB=√2a，AD=√2a，DC=(√2 1)a，∴tan22.5°=tanD=BC/CD=a/(√2 1)a=√2一1.

三.巧用折疊法求67.5°角的三角函數值

3.将如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點E處，還原後，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，求出67.5°角的正切值.

【分析】依題分析知，AB=BE，∴∠AEB=∠EAB=45°，AE=EF，∴∠EAF=∠EFA=22.5°，∴∠FAB=67.5°，設AB=a，則BE=a，AE=EF=√2a，∴tan67.5°=tan∠FAB=FB/AB=(√2a a)/a=√2 1.

四.巧用含36°角的等腰三角形中的相似關系求18°，72°角的三角函數值

4.求sin18°，cos72°的值.

【分析】我們知頂角為36°的等腰三角形，有其特殊性，如圖，

作△ABC使∠BAC=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D點，過點A作AE⊥BC于E點，則∠BAE=∠CAE=18°，∠ABE=∠ACB=∠BDC=72°，∠DBC=36°，設BC=a，則BE=a/2，BD=AD=a，易知△ABC∽△BCD，∴AB/BC=BC/CD，∴AB/a=a/(AB一a)，即AB²一AB×a一a²=0，∴AB=a(√5 1)/2(負根舍去).∴sin18°=sin∠BAE=BE/AB=(√5一1)/4.cos72°=cos∠ABE=BE/AB=(√5一1)/4.

五.巧用75°與30°角的關系構圖求75°角的三角函數值

5.求sin75°，cos75°，tan75°的值.

【分析】作△ABD，使∠ADB=90°，∠DAB=30°，延長BD到C，使DC=DA，連接AC，過點B作BE⊥AC于E，則∠BAE=75°，如圖，

設AD=DC=a，則AC=√2a，BD=√3a/3，AB=2√3a/3，∴BC=BD CD=(√3/3 1)a，∴CE=BE=BCsin45°=(√6 3√2)a/6，∴AE=AC一CE=(3√2一√6)a/6，∴sin75°=sin∠BAE=AE/AB=(3√2十√6)a/6÷2√3a/3=(√6 √2)/4.cos75°=cos∠BAE=AE/AB=(√6一√2)/4，tan75°=tan∠BAE=BE/AE=2 √3.

【總結】依據已有的舊知識，化新知識為舊知識，用熟知的舊知識解決困難的新知識，是研究解決問題的常用方法，體現了轉化的思想方法.

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