先放一張PCA圖

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主成分分析（Principal Component Analysis）是不是聽起來就一臉懵,下面就讓我們來看看PCA是何方神聖！

01

降維？

主成分分析的字面意思就是用主成分來分析數據呗！闊是，什麼是主成分？這就不得不聊一個關于“降維”的故事了。

“學醫要考研，考研要複試，複試要…要…要…複試不僅讓考生心痛更讓導師眼花缭亂。”這不，A導就糾結着到底選5個複試學生裡的哪一個來當自己的關門弟子？

A導最終決定用數據說話！設置了“績點，考研分數，科研能力，筆試成績，面試表現，英語水平，獎學金，學科競賽，部門任職”９個指标（相當于從９個維度去評價這5位考生）。9個指标=9個變量=9個維度

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我的三維大腦是搞不定的看來9維是不行了，那怎麼把維度降低，用簡單的方法表示複雜的數據分析？

當然是用降維了！降維是通過減少數據中的指标（或變量）以化簡數據的過程。這裡的減少指标，并不是随意加減，而是用複雜的數理知識，得到幾個“綜合指标”來代表整個數據。

PS：降維的原理涉及複雜數理知識且大多由計算機完成

那麼問題來了！這個“綜合指标”是什麼？為什麼它們就可以代表整個數據？

02

Why

主成分？

綜合指标=主成分

你沒有看錯，這個綜合指标就是我們今天的重點：主成分。它不是原來的指标中的任何一個，而是由所有原有指标數據線性組合而來。

比如A導的故事中的主成分就可這樣表示：

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認識了“主成分”以後，PCA的概念就很容易理解了！

PCA——就是以“降維”為核心，把多指标的數據用少數幾個綜合指标（主成分）替代，還原數據最本質特征的數據處理方式。

可是，主成分為什麼拽到可以代替所有數據？認真看看可以發現部分指标其實是相互關聯的！（比如獎學金也可以反映績點情況），這就會造成數據冗餘。而降維就可以幫助我們去除這些指标中重疊、多餘的信息，把數據最本質和關鍵的信息提取出來。

A導終于可以一眼就區分這5位考生的水平并“理智”地做出選擇了！

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03如何計算

将學生成績表示為矩陣形式，一行代表一個學生，每一列代表一門課的成績

假設找到了一個線性組合(命名為特征矩陣(Yn, k))，其中k<n得到一組新變量Pm, k = Xm, nYn, k，并且新變量的協方差矩陣(Dm, m)為對角陣。設我們有m個n維數據記錄，将其按列排成n乘m的矩陣X，設

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，則C是一個對稱矩陣，其對角線分别個各個特征的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j兩個特征之間的協方差。設X的協方差矩陣為C(C為對角陣)，P的協方差矩陣為D，且Pm, k = Xm, nYn, k ,那麼C與D是什麼關系呢。

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優化目标變成了尋找一個矩陣Y，滿足YTCY是一個對角矩陣，并且對角元素按從大到小依次排列，那麼Y的前K列就是要尋找的基，用Y的前K列組成的矩陣乘以X就使得X從M維降到了K維并滿足上述優化條件。

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A導可是隻有5位考生，9個指标而已！在我們醫學中！那可是上千的樣本量，上萬的基因數據......在醫學領域中，我們可以用PCA圖來進行疾病危險因素分析，腸道菌群聚類分析，推斷腫瘤亞群之間的進化關系......還用它來觀察樣本的分組、趨勢、剔除異常數據。

所以PCA圖在文獻中出現率還是蠻高的！！！不過遇到它我們怎麼看？深入了解PCA識圖秘籍

樣本點連線距離長 =樣本之間差異性大

樣本點連線距離短 =樣本之間差異性小

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通過主成分分析方法(PCA)分析9種食物的蛋白質消耗量(變量)與25個歐洲國家(樣本)之間的關系由圖可得，大部分歐洲國家蛋白攝入習慣是：吃雞蛋、紅肉（豬牛羊等畜肉）、白肉（禽、魚肉及水産品），喝牛奶。詳細的解析來了！

1、各樣本點連線的距離：體現各國家蛋白攝入習慣的相似性。

2、主成分與原變量之間的關系：箭頭對應的原始變量在投影到水平和垂直方向上後的值，可以分别體現該變量與PC1和PC2的相關性（正負相關性及其大小）（例如，Eggs對PC1具有較大的貢獻，而Nuts則與PC1之間呈較大的負相關性）。

3、樣本點和箭頭之間的距離：反映樣本與原始變量的關系。（對于圖中用藍色粗箭頭所指的樣本點而言，該國的蛋白質來源主要為Fruits and Vegetables）。怎麼樣？有沒有一種豁然開朗的感覺？

什麼？還是懵？

沒關系，繼續看例子

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R語言PCA分析代碼

R語言主成分分析(PCA)加“置信橢圓” - 簡書

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