R平方是用于評估我們的回歸模型的拟合優度的統計度量。

在R平方中，我們有一個基線模型，它是最差的模型。該基線模型沒有使用任何獨立變量來預測因變量Y的值。相反，它使用因變量Y的觀測響應的平均值，并始終将該平均值預測為Y的值。

我們适合的任何回歸模型都與該基線模型進行比較，以了解它是否合适。

換句話說，R-squared簡單地解釋了與基線模型相比，您的模型有多好

上圖中的紅線是基線模型，它總是預測因變量Y的觀測響應的均值作為Y的值，而不考慮自變量的值。

綠線是我們的拟合模型，它利用自變量來預測因變量Y的值。

R平方由下式給出

其中SSE是我們的回歸模型的誤差平方的總和

而SST是我們的基礎模型的誤差平方的總和。

我們最糟糕的回歸模型可能是基線模型本身。

因此，在這種情況下，SSE将等于SST。

所以R平方将等于

R平方= 1-1 = 0

這就是R平方= 0的模型的樣子

我們最好的模型将是完美适合所有數據點的模型，所以在這種情況下SSE将為0。

所以，R平方= 1-0 = 1表示一個完美的模型。

與模型R平方接近1

所以R平方可以取0到1之間的值，其中接近于0的值表示不合适，而接近1的值表示完美契合。

如何解釋R平方？

如果R平方= 0.93，則意味着因變量Y的93％變化由我們模型中存在的自變量解釋。

R-squared可以被人為地提高。也就是說，我們可以通過簡單地向模型添加越來越多的自變量來增加R平方的值。

換句話說，在添加更多獨立變量時，R平方不會減少。

有時候，這些變量中的一些可能非常微不足道，對我們的模型來說可能是無用的。

為什麼會發生？

當SSE / SST最小時，R平方最大。

為了SSE / SST最低，SSE應該是最小的。

現在，随着我們向模型添加更多解釋變量，SSE将會減少。這是因為我們在回歸模型中添加了更多的解釋變量，所以我們的回歸模型會更好地拟合數據點，因此平方誤差的總和會減少。因此即使變量對我們的模型不重要，R平方也會增加。

為了避免由R平方引起的這個問題，我們使用調整的R平方

調整後的R平方簡單地懲罰了添加更多無用變量的模型。

調整的R平方由下式 給出

n =沒有數據點

p =模型中不使用的獨立變量

随着我們模型中增加自變量的 數量 ，n-p-1減少，所以如果我們除以

通過越來越小的數字，結果值将越來越大，并且當從1減去該值時，調整的R平方 将減小。

所以通過增加更多無用的變量，調整的R平方的值減小。

例

考慮以下數據

考慮使用x1和x2作為獨立變量的模型1來預測變量y的值

這個模型的R平方= 0.909。調整的R平方為此計算為

現在，如果我們選擇将另一個變量x3添加到我們以前的模型中

這個模型的R平方= 0.912，比我們以前的模型略高。調整的R平方為此計算為

注意在這個例子中，當我們将變量x3添加到我們的模型中時，R平方的值的增加（與之前的模型相比）非常小（0.003），除此之外分母的值已經從10降到9。因此調整R平方的結果值下降，表明x3對我們的模型不重要。

這很好解釋了當我們向模型中添加越來越多的無用變量時，R值的平方值不會顯着增加，調整的R值的平方值就會下降。

R平方告訴你模型如何适合數據點，而調整的R平方告訴你模型的特定特征有多重要。

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