說起素數定律，想必大家都早有耳聞，我今天就來講一講什麼是素數定律。（由于篇幅較長，我們需要用2~5篇文章和大家慢慢聊，這樣大家才能看得心情舒暢）

首先，素數是什麼呢？我們小的時候就知道了：不是素數的數（合數）有許多因數，素數隻有1和它本身，也就是說，素數在自然數之中是“獨一無二”的，是“孤芳自賞”的，這也就是為什麼科學家喜歡研究它的原因之一。比如下面10個自然數：

裡面哪些是素數呢？隻有：

那1算素數嗎？這裡簡單認為它不算，因為這涉及到哥德巴赫猜想的前設和定義。

如果1是素數，則會出現任意的素數都會表示為無限的1和該素數的乘積。這樣冗長的計算沒有意義。——引自知乎 謝洪來

研究素數的先驅-歐拉

于是，人們開始了對素數的尋找，可是怎麼找呢，100個數内找還好說，可是10000個數，一百萬個數，除非你挨個兒去除，否則很難知道哪些是素數，哪些不是。不過天才的埃拉托斯特尼用這種方法篩選素數：

在100以内的數，就像是做“核酸檢測”，讓所有的數和“抗原”2，3，5，7，碰一遍，除不動的就是“感染者”——素數。

在1000以内的數，不僅要除以2，3，5，7，還要去和上一次找到的100以内的“感染者”碰一遍，這樣就能找到百位以内的素數。

埃拉托斯特尼之篩

以此類推，人們在17世紀就找到了100萬位的素數（那時候找素數全靠純人手算，可見前人做事多有耐心），後來我們現代人用計算機找到了幾億億億億.....個素數。

首先要說素數猜想，當時人們的想法就像你我一樣簡單：我們能不能通過一個函數關系式說明給定範圍的自然數内有多少個素數？

“前10個自然數有4個素數

前100個自然數裡有25個素數

前1024個自然數裡有172個素數

..........

那你能預測1000000個自然數裡有多少個素數嗎？”

這個問題在18世紀就已經引起了人們的興趣，高斯通過對當時人們耐心計算出的幾十萬位的素數表進行了數學分析，他得到了一個宏觀的概率公式（我認為，這個公式的發現不僅要歸功于高斯，還應歸功于那些默默無聞的計算了幾十年素數的學者，是他們給出了具體的實驗數據。）

大數學家高斯

高斯認為，給定自然數範圍内的素數的個數滿足一個統計規律：

p為某個區間的總素數個數，x的物理意義是自然數軸

我們用不定積分表示出來：

即：

自然數軸

接下來，我們上軟件搞它，我們看看按照高斯的方法，前100個數裡能估出來多少個素數：

實際是25個，理論上多出入了4個左右。

那前1000個自然數裡面估計有多少個素數呢？

實際上是168個，理論上多出入了8個左右

不過已經很不錯了，有數學家曾證明，高斯估計的這個素數個數和真實的素數個數誤差永遠小于等于11%：

同時，随着n的不斷增大（無限大），這個誤差會趨于0.

于是，你以後就可以和親朋好友炫耀了，你可以問他們：“你知道前100,000,000,000(一千億）個自然數裡大概有多少個素數嗎？”

它和真實值相差無幾

好了，今天素數的故事就先講到這裡，你理解素數在自然數軸上的近似分布規律了嗎？

（未完待續）

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