在前文中我們談到用高斯消元法解決線性系統問題，也談到線性組合，參見齊次方程組和線性組合。
本文談論齊次方程組的基解。先做一個高斯化簡：用系數矩陣求解齊次方程組，
解：用高斯消元法，化簡後得：
所以通過高斯消去得出的解是:
= 2s t
= s
= t
=t
因此我們能把通解x寫成矩陣形式:
這裡的：
是通過高斯消元得到的特殊解。
定義：高斯算法産生任何齊次線性方程的參數解，每個參數都有一個特解叫做基解。
上面的例子的解可以寫成：
因此，通過引入一個新的參數r = t/5，我們可以将原來的基本解x2乘以5
消除分數。因為:任何非零的标量乘以一個基本解仍然被稱為一個基本解。
定理：設A是一個m×n矩陣，秩為r，考慮n個變量的齊次系統，其中A為
系數矩陣。那麼:
1. 系統有n - r個基本解，每個參數有一個。
2. 每個解都是這些基本解的線性組合。
例題：
求系數矩陣為A的齊次方程組的基本解，并表示每一個解為基本解的線性組合，其中：
解：将增廣矩陣用高斯法化簡為行簡化階梯形
通解是x1 = 3r−2s−2t, x2 = r, x3 =−6s t, x4 = s, x5 = t其中r， s和t參數。在矩陣形式中，這是
因此基解是：
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