文｜冷絲

欄目｜考研複習

高等數學是理工科、财經類學科學生在步入大學校園後必修的一門基礎課，随着後現代經濟的發展，科技的進步，高等數學這門學科得到了廣泛的應用，因而高等數學的重要性不言而喻。

對很多專業的考生來說，高等數學是一道門檻，會卡下很多人。

高校數學課是基礎課，一般都在大學的一年級開設。而這時的學生剛從中學跨入大學校門，接受知識的方式還強烈地受着中學教育方式的影響。在中學基本上是每天一節數學課，而每一節課隻有45分鐘，老師常常隻講解一個數學問題，老師還要通過案例、例題進行強化。

然而，高校每周隻有1-2次課，每次課講授的内容非常多，課堂上幾乎沒有時間做練習題。這就導緻課堂内容，學生難以當掌握并被強化。

教師課堂上對學生管理不夠嚴格，學生從中學升入大學，脫離原來老師的嚴格管束，一下子進入舒适輕松的狀态，老師課上隻負責講課，很少管學生，每節課結束，老師就離開，導緻學生上課睡覺、玩手機的現象普遍。所以說，高等數學對于考研就顯得很關鍵了。對于準備考研的同學來說，首先要了解考試内容和題型。

考研數學主要包括8個方面内容，題量大，部分題目還有較大的難度，并且有多種題型，

第一，一元函數的極限與連續。包含一元函數及其特性、數列與函數的極限、函數的連續性三部分。

該部分内容，主要讨論數列與函數的極限問題。

該部分重點内容有函數（函數的概念、函數的特性、函數的運算）；極限（數列的極限、函數的極限、函數極限的運算法則和存在準則、無窮小及其比較）；連續（函數的連續性與間斷點、連續函數的運算、閉區間上連續函數的性質）。

常見題型有求分段函數的複合函數；直接計算給定函數的極限或給定極限值，反過來确定式子中的常數；對無窮小（包括高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小特别是等價無窮小）進行比較；讨論函數的連續性，判斷函數間斷點的類型；讨論連續函數在給定區間的零點存在性。

第二，一元函數微分學包含一元函數的導數與微分、微分中值定理與導數的應用三部分。

該部分重點内容有函數導數與微分的概念，可導與連續的關系，函數的求導法則；羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理與泰勒中值定理；羅必達法則和泰勒公式，利用導數研究函數的性态（包括函數的單調性與極值，函數圖形的凹凸性與拐點，曲線的漸近線，函數的最大、最小值，以及導數在經濟領域的應用，如邊際、利潤、彈性等）。

常見題型有利用導數定義讨論分段函數在分界點的可導性；求給定函數的一階或高階導數及微分（用基本初等函數的導數或微分公式、導數的四則運算法則，求複合函數的導數、反函數的導數、隐函數的導數、由參數方程确定的函數的導數等）；利用羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理證明有關命題和不等式；利用羅必達法則和泰勒公式求常見未定式的極限；利用導數讨論方程在給定區間内的根的個數；利用導數研究函數性态和描繪函數圖形；利用導數求解幾何、物理、經濟等方面的最大值、最小值應用題等。

第三，一元函數積分學，包含一元函數的不定積分、定積分、定積分的應用三部分。

該部分重點内容有基本積分公式表；不定積分的換元積分法和分部積分法；定積分的概念；積分上限函數及其導數；牛頓-萊布尼茨公式；積分中值定理；定積分的換元積分法和分部積分法；反常積分的概念與計算；定積分的應用。

常見題型有計算函數的不定積分與定積分；計算積分上限函數的導數及極限；利用積分中值定理證明相關問題；利用定積分求平面圖形的面積、求平行截面面積已知的立體的體積、求旋轉體的體積、求平面曲線的弧長；利用定積分求變力沿直線所做的功、求水壓力、求引力等物理量；計算函數的反常積分（包含無窮限的反常積分和無界函數的反常積分）。

第四，向量代數和空間解析幾何，主要與多元函數微分學幾何應用方面相關聯。

這個部分基本知識在重積分和曲面積分中用到，在線性代數課程中也用到。

重點内容有向量的概念，向量的幾種運算：線性運算、數量積、向量積與混合積；平面的各種方程，直線的各種方程；直線與直線、平面與平面、直線與平面之間的關系等。

常見題型有求向量的數量積、向量積；求平面或直線的方程；求直線在平面上的投影直線的方程及投影直線繞坐标軸旋轉一周的曲面方程。

第五，多元函數微分學，包含多元函數的偏導數和全微分、多元函數的應用兩大部分。

該部分重點内容有多元函數（如二元函數）的概念、極限與連續；多元函數的偏導數和全微分；多元函數微分在幾何上的應用；方向導數和梯度；多元函數的極值和條件極值。

常見題型有求二元函數的極限；求多元函數的偏導數與全微分；求複合函數的一階、二階偏導數；求隐函數的一階、二階偏導數；求空間曲線的切線與法平面方程；求曲面的切平面和法線方程；求多元函數的方向導數和梯度；求多元函數的極值、最大值與最小值；利用拉格朗日乘數法求多元函數的條件極值。

第六，多元函數積分學，包含二重積分、三重積分、曲線積分與曲面積分四大部分。

這是多元函數微積分學的重要内容，涉及三大類重要積分，應用面較廣。

該部分重點内容有二重積分的概念、性質與計算；三重積分的概念、性質與計算；曲線積分的概念、性質與計算；格林公式，平面上曲線積分與路徑無關的充要條件，二元函數的全微分求積；曲面積分的概念、性質與計算；高斯公式與斯托克斯公式；散度與旋度的概念及計算；重積分、曲線積分、曲面積分在幾何與物理上的應用。

常見題型有利用直角坐标與極坐标計算二重積分；利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标計算三重積分；二重積分、三重積分在幾何和物理上的應用，如求面積、體積、質量、重心坐标、引力等；計算對弧長的曲線積分；計算對坐标的曲線積分，格林公式及其應用；計算對面積的曲面積分；計算對坐标的曲面積分，高斯公式及其應用；梯度、散度、旋度的綜合計算；利用重積分計算曲面的面積、物體的質心及轉動慣量；利用曲線積分求變力沿曲線所做的功。

第七，無窮級數，包括常數項級數和函數項級數兩部分。

其中，常數項級數又包括正項級數、交錯級數和任意項級數，函數項級數則主要讨論了幂級數和傅裡葉級數。

該部分重點内容有常數項級數的概念和性質，常數項級數的審斂法（正項級數及其審斂法、交錯級數及其審斂法、任意項級數的絕對收斂與條件收斂）；幂級數的概念及其收斂性（收斂半徑、收斂區間、收斂域），幂級數的運算（加法、減法、乘法和函數的性質），函數展開成幂級數；傅裡葉級數的概念，函數展開成傅裡葉級數，正弦級數與餘弦級數。

常見題型有判别常數項級數的斂散性（利用級數的定義，利用級數的性質，利用幾何級數，利用p級數，對正項級數利用比較法、比值法、根值法，對交錯級數可用萊布尼茨判别法，利用級數的絕對收斂等）；求幂級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域；求某些幂級數的和函數（将級數通過代數運算、變量置換、逐項求導、逐項積分等手段化成已知和函數的級數，如幾何級數，從而求得和函數）；求某些常數項級數的和（由定義求部分和數列的極限，或将其看作某個幂級數或某個傅裡葉級數在某點處的值，先求出該幂級數或傅裡葉級數的和函數，再求出該常數項級數的和）；将函數展開為幂級數（直接法和間接法）；将函數展開為傅裡葉級數，或展開成正弦級數與餘弦級數。

第八，微分方程與差分方程，包括微分方程與差分方程兩個部分，微分方程是主要部分。

該部分重點内容有微分方程的概念；可分離變量的微分方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程；可降階的高階微分方程；二階常系數齊次線性微分方程、簡單的二階常系數非齊次線性微分方程；歐拉方程；差分方程的概念，一階常系數線性差分方程。

常見題型有求可分離變量的微分方程的通解或特解；求齊次方程的通解或特解；求一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的通解或特解；求可降階的二階微分方程的通解或特解；求二階常系數齊次線性微分方程的通解或特解；求某些簡單的二階常系數非齊次線性微分方程的特解或通解；求歐拉方程的通解；求一階常系數線性差分方程的通解或特解；用微分方程求解一些簡單的應用問題（幾何或經濟問題）。

對部分專業考生來說，高等數學是一道坎，冷絲衷心祝福各位考生跨過去，取得好成績。

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