2022年高考理科數學全國甲卷的最後一道選做題，是一道不等式問題，老黃看過标準答案，它需要運用到“柯西不等式”和“權方和不等式”。這兩個不等式都是高中數學競賽常用的不等式，要求在高考中運用，老黃覺得不太合适。老黃僅用均值不等式就把它解決了。

已知a,b,c均為正實數，且a^2 b^2 4c^2=3，證明：

(1)a b 2c≤3;

(2)若b=2c, 則1/a 1/c≥3.

我們先來看看标準答案：

證明1：(1)由柯西不等式有：(a^2 b^2 4c^2)(1^2 1^2 1^2)≥(a b 2c)^2.

即3×3≥(a b 2c)^2且a, b, c均為正實數，

∴a b 2c≤3(當且僅當a=b=2c，即a=b=1, c=1/2時取等号).

介紹一下柯西不等式，它的一般格式是這樣的：

(a1^2 a2^2 … an^2)(b1^2 b2^2 … bn^2)≥(a1b1 a2b2 … anbn)^2.

(2)由(1)及b=2c知, 0<a 4c≤3, ∴1/(a 4c)≥1/3,

由權方和不等式知：1/a 1/c=12/a 22/(4c)≥(1 2)2/(a 4c)≥9/3=3.

介紹一下權方和不等式，它的一般格式是這樣的：對于xi,yi>0, (i=1, 2, …,n)

記M=(x1 x2 … xn)^(m 1)/(y1 y2 … )^m；

N=x1^(m 1)/y1^m x2^(m 1)/y2^m … xn^(m 1)/yn^m.

當m(m 1)>0，M<=N; 當m(m 1)=0，M=N; 當m(m 1)<0，M>=N.

雖然說這兩個不等式對一般的高考學生來說，并不常用，但是多掌握一點知識，總是不會吃虧的。下面介紹老黃自己的方法，隻要懂得使用均值不等式就足夠了。ai>=0, (i=1, 2, …,n)

(a1 a2 … an)/n>=n次根号(a1a2…an).

證明2：(1)(a b 2c)^2=a^2 b^2 4c^2 2ab 4ac 4bc

≤a^2 b^2 4c^2 a^2 b^2 a^2 4c^2 b^2 4c^2=3(a^2 b^2 4c^2)=9.

∴a b 2c≤3.

(2)若b=2c, 則1/a 1/c=1/a 1/(2c) 1/(2c)=1/a 1/b 1/(2c)

≥3倍三次根号(1/(2abc))≥9/(a b 2c)≥9/3=3.

其實很多不等式都是由均值不等式派生出來的。前面兩個不等式如果你掌握不好，均值不等式可是一定要掌握好的哦。對這道題，你還有更多的看法嗎？

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