數學源于算術理論，所以關于算術的許多結論也能用來說明一般數學的普遍問題。

我們來探讨數字的起源，簡而言之，數字的概念反映了物體集合的量的關系。它們是逐漸地産生的：最初是與具體對象一體的“有名數”（有數字五的命名為手），然後是抽象的零散的數，最後才是以基本運算為關聯的數的系統，其中的每一個數隻是一個抽象的符号，它與其他數的關系便是這個數的一切。

曆史給我們回答了這個問題，我們看到：算術結論本身是緩慢逐漸地建立起來的，它們反映了在許多世代的長期過程中積累起來的，并且因此凝固在人們意識中的經驗。它們在語言中固定下來了：在數字的名稱中，在符号中，在對數字的同一種運算的經常重複中，以及在它們經常的實際應用中固定下來了。

另一方面，邏輯推理方法本身也有同樣的産生過程，邏輯是曆史的投影，現實關系錯綜複雜，但沿着某個方向（比如算術）的投影卻是簡明的，穩定的。長期的投影使我們的大腦建立了相應的關聯，産生了相應的結構，以緻于我們便是這樣思考的。

算術的令人信服的根源就在這裡。它的結論邏輯地從其基本概念中推導出來，而邏輯方法和算術概念兩者都是數以千年的實踐為基礎，以我們周圍世界的客觀規律性為基礎在人們的意識中形成和鞏固起來的。

算術的概念和結論概括大量的經驗，在抽象的形式中表現出現實世界的那些經常和到處碰到的聯系，計算的對象既可以是房間裡的東西，也可以是星球，是人，是原子……算術舍棄了所有局部的和具體的東西，而抽取了某些普遍的性質。

正是因為它僅僅抽取普遍的性質，所以它的結論才能運用到這樣大量的情況中去，同時，這種抽象性不是空想的，而是從長期實際經驗中提取出來的。對于全部數學，對于任何抽象概念和理論也都是這樣的。理論應用的可能性取決于其中所概述的原始材料的廣泛程度，

同時，任一抽象概念，包括關于數的概念，由于它本身特有的抽象性，所以在其意義上是有局限的。

第一，在應用到任一具體對象時，它隻反映了對象的一個方面，因此隻能給出關于對象的很不全面的觀念，例如，常有這樣的情況：有了一些數據但是關于事情的本質卻說明得很少。

第二，不能沒有任何條件地到處應用抽象概念，不能把算術運用到任一具體問題，而不判斷一下，在這裡運用算術是否有意義，比如，我們說到加法時，隻是想象地把對象聯合起來，而對于這些對象本身當然什麼事情也沒有發生。但是如果我們把加法運用于對象的實際聯合，如果我們實際上把對象置放在一起，比如把它們放成一堆或都擺在桌上，那麼這裡發生的不是抽象的加法，而是現實的過程。這個過程不但不限于是算術的加法，而且可能使算術加法根本不适用。

例如，物體選放在一堆可能會折損；野獸放在一起可能會有這個把那個吃掉的情況；“加 在一起的”物質可能發生化學反應；一公升水和一公升酒精混合以後，由于兩種液體的相互溶解得出的不是2公升而是1.9公升的混合物。這樣的例子可以随便舉出很多來。

對于邏輯，同樣如此，邏輯會出錯麼？有一些是明顯的錯誤，比如因為1 1=2，所以三角形兩邊之和大于第三邊，我們可以說它牛頭不對馬嘴，完全不通；有一些是精緻的錯誤，比如一些詭辯和悖論，所謂子非我，安不知我不知魚之樂；還有些是高級的謬誤，比如芝諾的悖論，羅素的悖論，它們都是違反了一些邏輯中尚未被公認的規則，比如邏輯的對象是受時間空間限制的。

阿基裡斯跑不過烏龜

伯特蘭·羅素

總之，真理是很具體的；正是由于數學和邏輯的抽象性，這點就特别重要。

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