單位切向量和單位法向量-tft每日頭條

單位切向量和單位法向量

生活更新时间:2024-07-24 13:18:00

單位切向量和單位法向量?現在來看下曲線形狀的特征, 這些特征能描述曲線彎曲和扭曲的程度.，我來為大家科普一下關于單位切向量和單位法向量?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

單位切向量和單位法向量

10.6 弧長和單位切向量 T

現在來看下曲線形狀的特征, 這些特征能描述曲線彎曲和扭曲的程度.

曲線的弧長

來看看怎樣定義光滑曲線的距離. 其實與平面曲線一樣, 觀察下面動圖:

弧長函數

選取以 t 為參數曲線 C 上的點 P(t0)P(t0) 為基點, t 的每個值确定 C 上的一個點 P(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩P(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩ 和一個沿曲線從基點測量起的距離 s(t) 函數:

s 的每個值确定 C 上的一個點, s 稱為曲線的弧長參數, 對于研究空間曲線的彎曲和扭轉非常有用.

單位切向量 T

速度向量 v=dr/dt 切于曲線, 從而向量 T=v/|v| 是曲線的單位切向量, 它是描述空間物體運動标架的三個向量之一.

曲率和平面曲線的主單位法向量

曲線的"彎曲"和"扭曲"并不是相同. 當一個質點沿平面光滑曲線運動時, T=dr/ds 随曲線的彎曲而轉動. T 是單位向量, 在質點沿曲線運動時它的長度保持常值而僅僅方向改變. 單位長度 T 的轉動率為曲率, 用希臘字母 [Kappa] 記号(讀 kappa).

如果|dT/ds|大, T 在質點通過 P 時轉動得就急劇, 在點 P 的曲率就大, 反之亦然. 可以觀察下圖:

當曲線彎曲時, 向量 dT/ds 指向 T 轉動的方向. 也就是說, 主單位法向量指向曲線凹的一側. 觀察下面動圖:

曲率圓和曲率半徑

在平面曲線的 [Kappa]!=0 的點 P 的曲率圓是曲線所在平面上的圓周:

它在點 P 切于曲線(跟曲線有同樣的切線)

它在點 P 跟曲線有同樣的曲率

位于曲線的凹的一側.

曲線在點 P 的曲率半徑是曲率圓的半徑:

下面觀察 y=x^2 的曲率圓動畫:

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