在一次采訪當中，作為數學家的 Thom 同兩位古人類學家讨論問題。 談到遠古的人們為什麼要保存火種時，一個人類學家說，因為保存火種可以取暖禦寒；另外一個人類學家說，因為保存火種可以燒出鮮美的肉食。而 Thom 說，因為夜幕來臨之際，火光搖曳妩媚，燦爛多姿，是最美最美的。

——《Heroes in my heart》

火種的保存為原始人們帶來了現實的發展與神秘的美麗，而數的發現亦标志着現實與審美的原始進展 。我們每個人從幼年開始就熟悉數的概念，不同的東西在計數的意義下可以有相同的量，而這個抽象出來的量我們稱之為數。

我相信數的概念也許是人類抽象思維的起始，一個我們現在習以為常但卻是偉大的發現。相同個數的不同物質彰顯出一種共性，一個不與物體的形狀大小或是材質相關的性質，為了表達它我們必須摒棄所有表面物體，代之以一個更加普适更加一般的内蘊量，我們稱之為數。

把兩批物體放在一起我們發現他們在計數意義上有了改變，而改變的量與兩批物體各自原本的量有關，我們定義出加法。類似的，取出物體的觀察告訴我們減法。把物體分成許多批，每批有相同的數量，把這些批放在一起計數之時我們發現了乘法，而逆向的操作則定義了除法。由此我們發現了正整數以及其相關的四則運算，它直接根植于現實世界的觀察，它的存在在我看來本身就是這個宇宙的奇迹。

從正整數出發，我們可以并不複雜的得到整數和有理數的概念及其四則運算，隻需要考慮加法以及乘法的逆向操作并加以一定抽象，它仍然是直接相關于現實。與之相比，我們從小熟悉的實數則要隐晦的多。

小學老師教給我們的是僅僅是實數可以寫成小數點的形式，并且可以組成一條直線以及進行四則運算。反複的練習可以讓我們并不費勁的掌握實數的基本性質，并進行基本的運算。學校的練習可以輕易讓受過教育的人相信實數的存在并熟練的使用它，就像呼吸一樣自然。但任何人隻要稍加深入的去思考實數本身，就會發現它的意義的模糊。

一個與芝諾悖論類似的問題是 0.99999........是否等于 1。問題的本質在于0.99999........究竟意味着什麼，換句話說實數究竟是什麼，無窮小數的表達究竟是什麼含義。要回答這些問題并不簡單，事實上它困擾了人類近千年之久，我們現在通常稱之為第二次數學危機。在解釋實數的含義前，我們先讨論實數是如何被發現的。

△ √2的發現引發了第一次數學危機。（圖片來源：Jeffrey Phillips）

有理數的發現可以說直接來自于現實觀察，與之伴随的四則運算為我們提供了一系列運算法則，例如平方，立方。一個自然的問題是是否所有數都是某個數的平方，很容易看見答案是否定的，沒有有理數的平方能夠等于2，所以√2是沒有意義的。然而勾股定理的發現告訴我們√2是邊長為1的直角三角形的斜邊長度，所以√2是有意義的，這構成了一個矛盾，後來被稱為第一次數學危機。

另一個著名的發現是圓周率，它同樣超出了當時的數的理解。從後來的觀點看，問題在于有理數太小并不足以包含所有的數。

第一次數學危機的解決可以看作是代數的一個大進展，我們承認√2以及其他類似的數是數，并且它們組成了一個更大的數系，使得我們同樣可以進行四則運算。我們注意到類似√2這樣的數來源于尋求某種特殊的四則運算的組合的逆，以現代的術語來說，就是求解一個有理數系數的多項式方程。這種直接基于有理數及其四則運算所構造的數組成了一個大得多的數系，但它們是否包含了實數？或者更特殊的，圓周率是否存在于這一數系中？後一問題就是著名的化圓為方問題，它在提出兩千多年後才被林德曼于1882年解決。我們看到這一數系仍然不夠大，并不足以包含所有的實數。那麼問題在哪裡，這些多出來的像 π 一樣的數到底是什麼。從曆史的眼光來看，答案來自于數學的另一個重要概念——極限。

關于極限的想法古已有之，著名的芝諾悖論就是一例，然而這些想法大多都太過模糊，并不足以精确到給出數學意義。轉折發生于17世紀，由牛頓及萊布尼茲創立的微積分徹底改變了數學以及科學界，我們現在通常把這一時期視為現代數學的開端。這裡提出的新的微分積分以及極限的操作運算極大地豐富了數學，并且深刻的應用于現實世界，我們第一次有了超越四則運算的工具。盡管收獲了巨大的成功，一些基礎的問題仍然遺留了下來，極限的精确意義究竟是什麼？

從17世紀到19世紀早期，微積分的發展是如此的迅猛，許多傑出的數學家忙着開疆拓土，憑借成熟而精确的直覺完成了許多宏偉大廈的建設，然而重要的地基卻被相對忽略了。根基的不牢必然會帶來問題，當這些問題顯現之時，數學家開始慢慢投入更多精力與其上，試圖将數學建立于嚴格的邏輯基礎之上。從極限被提出之時起，數學家就意識到它與實數密切相關。

極限的意義在于無窮逼近于一點，而逼近的概念必須由距離所定義。幸運的是我們很容易定義有理數上的距離，隻要取兩點之間的差的絕對值就行了，它仍然是有理數，所以它是完整定義的。這裡有一個重要的概念我們在之前的讨論中選擇性的忽略了，它就是可序性，亦即比大小。實數中應存在大小的概念，而有理數中大小的概念很明晰。當我們讨論逼近時，我們需要讓距離不斷變小，距離和小都必須有數學上的意義，經驗告訴我們實數上需要有距離和大小的意義。幸運的是，在有理數上不論距離還是大小我們都已經有了完整的定義，結合我們之前的期待，實數應該存在距離和大小從而允許定義極限運算，另外四則運算法則也必須能夠拓展到實數上。

一個自然的想法是我們可以從有理數出發試圖從極限運算構造實數，就像我們從四則運算或者多項式構造根号2這類數一樣。這一想法被證明是可行的，我們可以構造實數作為有理數的無窮序列{a_n} n=1,2,3......，這些序列直觀上需要收斂到一個實數，而為了使它收斂，它必須具有一個性質——當n不斷變大的時候，a_n相互之間的距離必須不斷變小。另外注意到不同的序列可以收斂到同一個實數，這一點隻要兩個數列的數相互不斷接近就可以辦到，所以必須等同不同的序列當它們滿足這一條件之時。我們可以歸納這一構造如下：

定義：實數是一個無窮序列的集合 {{a_n} n=1,2,3...... a_n 是有理數并且滿足 |a_n - a_m| 任意小當n和m都足夠大時}， 這個集合裡的兩個不同序列{a_n}和{b_n}定義同一個實數如果 |a_n - b_n| 任意小當n足夠大時。

特别的，我們可以回到0.99999......是否等于1的問題。0.99999......在這裡被解釋為一個無窮序列 {0.9, 0.99, 0.999, ......} 而1我們同樣解釋為無窮序列 {1，1，1，1，......}，注意到這0.99 = 99/100， 0.999 = 999/1000等等都是有理數。這兩個序列顯然不一樣，但他們根據我們的定義定義出同一個實數，因為很明顯 |1 - 0.999 | = 0.001，|1 - 0.9999 | = 0.0001, ......在不斷變得任意接近于零。我們看到當我們給出明晰的定義時，0.99999......是等于1的。

這一定義将實數基于嚴格的邏輯上，它直接根植于有理數。如果你繼續邏輯上的追問，也許會問有理數或者整數的邏輯基礎是什麼，這是現代數理邏輯試圖回答的問題，它深刻涉及了20世紀的邏輯學，其深入探讨了無窮的本質。回到定義本身，我們可以用有理數的四則運算作用到序列上的每個數從而得到一個新序列，這定義了實數的四則運算。所有學過基本分析的人都能立即意識到這一構造具有更廣泛的意義，數學上稱之為完備化。仔細觀察這一定義我們會發現，定義實數隻需要距離和大小的概念，而四則運算則很容易從有理數的運算得到。這裡我們所選取的距離概念基于絕對值，而這是最符合我們日常經驗的。也許你會問是否有理數上存在其他的距離，從而我們可以利用相同的完備化構造定義不同的數，答案是肯定的。我們可以對于每個素數p定義一個距離如下：

定義：取 x 和 y 為有理數，它們的差 x - y 同樣是有理數并可以寫成可以寫成 x - y = a/b, 這裡a，b都是整數，運用素數的分解我們可以寫成 x - y = p^n(c/d)，這裡c 和 d 是整數并且與p互素，n也是整數，我們定義x和y之間的距離為1/(2^n)。

對于每一個素數p，我們可以對這一距離作完備化并得到一組新的數，我們稱之為p-進數。四則運算以及極限都可以與實數類似定義，但是它們與實數有一個重要的區别——實數有序結構，而p進數沒有。換句話說，我們無法比較兩個p進數的大小， 可以證明實數的序結構以及極限的存在性唯一确定了實數本身。

△ Peter Scholze （圖片來源：Alchetron）

進一步地，也許你會問是否有理數上還有其他的距離從而定義更多的數系，出乎意料的是答案是否定的，實數和p進數是所有的有理數的完備化所能構造的數。一個自然的問題是為什麼要考慮p進數，它有什麼意義？p進數在1897年由漢塞爾發現，比實數晚了很長時間。它的意義在于它比實數有更多的算術結構，能幫助我們更好的理解整數或者有理數本身。100多年來，它在數學上經曆了巨大的發展，幫助解決了數論上許多的大問題，比如95年懷爾斯證明費馬大定理。21世紀特别是最近幾年，p進數上的數學經曆了巨大的革命性的發展，尤其是其上的幾何。一個不得不提的名字是Peter Scholze，如今隻有30歲，他發展了新的p進數的幾何理論，其影響輻射到了大量其他領域。近來，p進數甚至在理論物理上也發現了新的應用，特别是高能物理。新的理論試圖用p進數解釋宇宙，也許p進數比實數更接近真實。

我們介紹了實數有理數以及p進數等不同的數，對其的理解和挖掘吸引了一代代的學者投入畢生精力，并且不斷吸引更多的後來者。其中的深刻與美麗“是造物者之無盡藏也”。

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