在初等數學中學習了三角形，四邊形，多邊形的面積計算：
現在來學習曲邊梯形的面積是如何定義的，以及如何計算的：
1.1 問題
之前介紹過，要求 ， 之間的曲邊梯形的面積 ：
可以把 均分為 份，以每一份線段為底，以這一份線段的右側的函數值為高做矩形：
當n→∞ 的時候，矩形面積和就是曲面下的面積：
那麼，能不能以這一份的線段的左側的函數值為高做矩形？
1.2 計算
把坐标組成兩個集合：
因此，以左側的函數值為高的矩形和可以如下計算：
同樣的道理，可以得到以右側的函數值為高的矩形和：
當 n→∞ 的時候，兩者是相等的，它們都是曲邊梯形的面積：
之前介紹連續的時候就介紹過狄利克雷函數：
也見識過它的古怪性質。這裡也要把它拉出來作一個反面典型。D(x) 的圖像是沒有辦法畫的，非要畫也就是這樣的：
假設要求 内的曲邊梯形面積，嘗試對 進行 等分，那麼等分點必然為有理數點（下圖為了演示方便，調整了下 坐标的比例）：
所以這些等分點的函數值必然為1。以1為高，以等分區間長度為底作矩形，可以得到：
這些矩形的和必然為1，可以想象進行 n 等分也依然為1，所以有：
下面換一種劃分方式，以鄰近的兩個無理數作為端點劃分區間，這些區間的端點的函數值必然為0，以區間長度為底，0為高，得到的矩形和為：
可見，對于 而言，不同的劃分區間、不同的高的取法，會導緻不同的矩形和：
格奧爾格·弗雷德裡希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）是德國數學家，黎曼幾何學創始人，複變函數論創始人之一。在數學界搞風搞雨的黎曼猜想也是他的傑作。
基于對剛才兩種情況：
的思考，看到不同劃分帶來的效果，黎曼先發明了黎曼和，進而定義了曲邊梯形的面積，也就是定積分。
3.1 任意劃分
[a,b] 不一定需要均分為n份，可以任意分割：
很顯然用于分割區間的點符合：
3.2 任意高度
那麼矩形的高度也可以是任意的：
3.3 黎曼和
根據剛才的講解，可以得到如下定義：
随着[a,b] 的劃分不斷變細，所有子區間的長度趨于0時，黎曼和不斷地逼近曲邊梯形的面積：
這個過程的嚴格化如下：
其中，S 代表英文中的求和（“sum”），拉長的 ∫ 則表明積分是和的極限（“limits of sums”）。這個符号相當精練，可以表達非常豐富的信息：
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