1兩集合容斥定理

如果被計數的事物有A、B兩類，那麼，A類B類元素個數總和= 屬于A類元素個數 屬于B類元素個數—既是A類又是B類的元素個數。（A∪B = A B - A∩B)

2三集合容斥定理

如果被計數的事物有A、B、C三類，那麼，A類和B類和C類元素個數總和= A類元素個數 B類元素個數 C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數 既是A類又是B類而且是C類的元素個數。

三個集合的容斥關系公式：A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C

教學重點：兩集合容斥定理找對A BA∪B A∩B

教學難點：三集合容斥定理

例1.某區100個外語教師懂英語或俄語,其中懂英語的75人,既懂英語又懂俄語的20人,那麼懂俄語的教師為人.

答案45

解析：依題意，被計數的事物懂英語的教師和懂俄語的教師有兩類，懂英語的教師稱為“A類元素”，懂俄語的教師稱為“B類元素”， 設懂俄語的教師為x人

A∪B = A B - A∩B=75 x-20=100

X=45

例2.有長8厘米,寬6厘米的長方形與邊長為5厘米的正方形,如圖,放在桌面上(陰影是圖形的重疊部分),那麼這兩個圖形蓋住桌面的面積是平方厘米.

8

6

5

4

3

答案 67

解析:依題意，被計數的事物長方形的面積與正方形的面積有兩類，長方形的面積稱為“A類元素”，正方形的面積稱為“B類元素”，

A∪B = A B - A∩B=6×8 5×5-4×3×1/2=67

例3. 求不超過20的正整數中是2的倍數或3的倍數的數共有多少個。

答案 13

解析：依題意，被計數的事物不超過20的正整數中是2的倍數與不超過20的正整數中是3的倍數有兩類，不超過20的正整數中是2的倍數稱為“A類元素”，不超過20的正整數中是3的倍數稱為“B類元素”，

A=20÷2=10 B=20÷3=6……2 A∩B=20÷6=3……2

A∪B = A B - A∩B=10 6-3=13

例4. 一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什麼都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？

答案 8

解析：依題意，被計數的事物有參加合唱隊，美術組兩類，參加合唱隊”稱為“A類元素”，“參加美術組”稱為“B類元素”，

A∪B = A B - A∩B=30 25-x=42-5

X=8

例5. 某個班的全體學生在進行了短跑、遊泳、投擲三個項目的測試後，每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：

求這個班的學生共有多少人？

答案 35

解析：依題意，記A類元素為：短跑達優秀。B類元素為：遊泳達優秀。C類元素為：投擲達優秀。

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=17 18 15-6-6-5 2=35

例6 某校六⑴班有學生45人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加遊泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、遊泳都參加的有9人，排球、遊泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？

答案3

解析 記A類元素為：參加足球隊的人數；記B類元素為：參加排球隊的人數； 記C類元素為：參加遊泳隊的人數。設三項都參加的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=25 22 24-12-9-8 X=45

X=3

例7對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則有既喜歡看球賽又喜歡看電影的有多少人?

答案3

解析 記A類元素為：喜歡看球賽的人；記B類元素為：喜歡看戲劇的人； 記C類元素為：喜歡看電影的人。設既喜歡看球賽又喜歡看電影的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=58 38 52-18-16-x 12=100

X=26

A

1. 某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會遊泳，既不會騎車又不會遊泳的有12人，則既會騎車又會遊泳的有( )人

　　A.57 B.73 C.130 D.69

答案A

解析 記A類元素為：會騎自行車；記B類元素為：會遊泳。設既會騎車又會遊泳的有x人。A∪B = A B - A∩B=68 62-A∩B=85-12

2.在1至10000中不能被5或7整除的數共有個.

答案 6857

解析 記A類元素為：在1至10000中能被5整除的數A=10000÷5＝2000

記B類元素為：在1至10000中能被7整除的數B=10000÷7≈1428.6 B取整數B=1428

A∩B=10000÷35≈285.7 B取整數B=285

設在1至10000中不能被5或7整除的數共有x個。

A∪B = A B - A∩B=68 62-A∩B=2000 1428 - 285=10000-x x =6857

3.在100個學生要麼對音樂有興趣要麼對體育有興趣,音樂愛好者有56人,體育愛好者有75人,那麼既愛好音樂,又愛好體育的人有人

答案 31

解析 記A類元素為：音樂愛好者；記B類元素為：體育愛好者。

A∪B = A B - A∩B=56 75-A∩B=100 A∩B=31

4. 電視台向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？

答案15

解析 記A類元素為：看過2頻道的人數；記B類元素為：看過8頻道的人數。設兩個頻道都沒看過的有x人

A∪B = A B - A∩B=62 34-11=100-x x=15

5 某班統計考試成績，數學得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?

答案 8

解析 記A類元素為：數學得90分上的人數；記B類元素為：語文得90分以上的人數。

A∪B = A B - A∩B=25 21-38=8

6 某班同學中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總人數是多少?

答案 51

解析 記A類元素為：打籃球的人數；記B類元素為：跑步的人數。

A∪B = A B - A∩B=39 37-25=51

B

7、某車間有工人100人，其中有5個人隻能幹電工工作，有77人能幹車工工作，86人能幹焊工工作，既能幹車工工作又能幹焊工工作的有多少人?

答案68

解析 記A類元素為：能幹車工工作的人數；記B類元素為：能幹焊工工作的人數。設既能幹車工工作又能幹焊工工作的有x人.

A∪B = A B - A∩B=77 86-x=100-5 x=68

8、 某年級的課外學科小組分為數學、語文、外語三個小組，參加數學小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人;同時參加數學、語文兩個小組的有4人，同時參加數學、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人;三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學科小組共有多少人?

答案54

解析 記A類元素為：數學小組的人數；記B類元素為：語文小組的人數；記C類元素為：參加外語小組的人數。

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=23 27 18-4-5-7 2=54

9、某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，這三科都不教的有多少名？

答案 14

解析 記A類元素為：教英語的人數；記B類元素為：教日語的人數；記C類元素為：教法語的人數。設這三科都不教的有x名.

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=50 45 40-15-8-10 4=120-x

X=14

10、某班有35個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數學小組中的—個課外活動小組。現已知參加英語小組的有17人。參加語文小組的有30人，參加數學小組的有13人。如果有5個學生三個小組全參加了，問有多少個學生隻參加兩個小組?

答案30

解析 記A類元素為：參加英語小組的人數；記B類元素為：參加語文小組的人數；記C類元素為：參加數學小組的人數。

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=17 30 13-（ A∩B B∩C C∩A ) 5=35 A∩B B∩C C∩A =30

C

11. 36名女生結伴購物，21人買了長裙，24人買了短裙，24人買了超短裙;14人買了長裙和短裙，15人買了短裙和超短裙，13人買了長裙和超短裙;隻有一位羞澀的小姑娘一條裙子都沒買。請問，共有幾名女生三種裙子都購買?

答案7

解析 記A類元素為：買了長裙的人數；記B類元素為：買了短裙的人數；記C類元素為：買了超短裙的人數。

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=21 24 24-14-15-13 A∩B∩C=36-1

A∩B∩C=7

12.某進修班有50人,開甲、乙、丙三門進修課、選修甲這門課的有38人,選修乙這門課有的35人,選修丙這門課的有31人,兼選甲、乙兩門課的有29人,兼選甲、丙兩門課的有28人,兼選乙、丙兩門課的有26人,甲、乙、丙三科均選的有24人.問三科均未選的人數?

答案 5

解析 記A類元素為：選修甲這門課的人數；記B類元素為：選修乙這門課的人數；記C類元素為：選修丙這門課的人數。設三科均未選的人數為x

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=38 35 31-29-26-28 24=50-x

X=5

13.某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備隻選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調查的學生共有多少人？答案 192

解析 記A類元素為：參加注冊會計師考試的人數；記B類元素為：參加英語六級考試的人數；記C類元素為：參加計算機考試的人數。設接受調查的學生共有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=63 89 47-46 24=x-x-15

X=192

14.如圖所示,A、B、C分别代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面積分别是5、3、4,求A、B、C三個圖形公共部分(陰影部分)的面積.

A

B

C

答案2

解析 設A、B、C三個圖形公共部分(陰影部分)的面積為x

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=8 9 11-5-3-4 x=18

X=2

1. 某工作組有12名外國人,其中6人會說英語,5人會說法語,5人會說西班牙語;有3人即會說英又會說法,有2人既會說法又會說西;有2人既會說西又會說英;有1人這三種語言都會說.則會說英語的人比一種語言都不會說的人多多少？

答案4

解析 記A類元素為：會說英語的人數；記B類元素為：會說法語的人數；記C類元素為：會說西班牙語的人數。設一種語言都不會說的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=6 5 5-3-2-2 1=12-x X=2

6-2=4

1在1~100的自然數中,是5的倍數或是7的倍數的數有____個.

答案 32

解析 記A類元素為：在1至100中是5的倍數個數A=100÷5＝20

記B類元素為：在1至100中能被7整除的數B=100÷7≈14.3 B取整數B=14

A∩B=100÷35≈2.8 B取整數B=2

A∪B = A B - A∩B=20 14-2=32

2六一班有學生46人,其中會騎自行車的17人,會遊泳的14人,既會騎車又會遊泳的4人,問兩樣都不會的有人.

答案 19

解析 記A類元素為：會騎自行車的人數；記B類元素為：會遊泳的人數；設兩樣都不會的有x人.

A∪B = A B - A∩B=17 14-4=32-x x=19

3某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會遊泳，既不會騎車又不會遊泳的有12人，則既會騎車又會遊泳的有( )人

A.57 B.73 C.130 D.69

答案A

解析 記A類元素為：會騎自行車的人數；記B類元素為：會遊泳的人數。

A∪B = A B - A∩B=68 62-A∩B=85-12 A∩B=57

4.一個班有45個小學生,統計借課外書的情況是:全班學生都借有語文或數學課外書.借語文課外書的有39人,借數學課外書的有32人.語文、數學兩種課外書都借的有多少人？

答案 26

解析 記A類元素為：借語文課外書的人數；記B類元素為：借數學課外書的人數。

A∪B = A B - A∩B=38 32-A∩B=45A∩B=26

5　一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？

答案 23

解析 記A類元素為：數學得滿分的人數；記B類元素為：語文得滿分的人數。

A∪B = A B - A∩B=15 12-4=23

6某班共有30名男生,其中20人參加足球隊,12人參加藍球隊,10人參加排球隊.已知沒一個人同時參加3個隊,且每人至少參加一個隊,有6人既參加足球隊又參加藍球隊,有2人既參加藍球隊又參加排球隊,那麼既參加足球隊又參加排球隊的有人.

答案4

解析 記A類元素為：參加足球隊的人數；記B類元素為：參加藍球隊的人數；記C類元素為：參加排球隊的人數。設既參加足球隊又參加排球隊的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=20 12 10-6-2-x 0=30 X=4

1.四年級一班有54人，定閱《小學生優秀作文》和《數學大世界》兩種讀物的有13人，訂閱《小學生優秀作文》的有45人每人至少訂閱一種讀物，訂閱《數學大世界》的有多少人？（ ）

A．13 B．22 C．33 D．41

答案B

解析 記A類元素為：定閱《小學生優秀作文》的人數；記B類元素為：定閱《數學大世界》的人數。設訂閱《數學大世界》的有x人

A∪B = A B - A∩B=45 x-13=54 x=22

2. 五年級有122名同學參加語文、數學考試，每個至少有一門功課取得優秀成績，其中語文成績優秀的有65人，數學成績優秀的有87人。語文、數學都優秀的有多少人？ （ ）

A． 30 B．35 C．57 D．65

答案A

解析 記A類元素為：語文成績優秀的人數；記B類元素為：數學成績優秀的人數。設語文、數學都優秀的有x人A∪B = A B - A∩B=65 87-x=122 x=30

3. 學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手提琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩樣都會的有8人。這個文藝組共有 ＿ 人。

答案33

解析 記A類元素為：會拉手提琴的人數；記B類元素為：會彈電子琴的人數。

A∪B = A B - A∩B=24 17-8=33

4. 某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的人有23人，兩題都答對的有15人，＿個同學兩道題都沒有答對

答案3

解析 記A類元素為：答對第一題的人數；記B類元素為：答對第二題的人數。

A∪B = A B - A∩B=25 23-15=33 36-33=3

5.現有 50 名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正确的有 40 人，化學實驗做正确的有 31 人，兩種實驗都做錯的有 4 人，則兩種實驗都做對的有＿人。

答案25

解析 記A類元素為：物理實驗做正确的人數；記B類元素為：化學實驗做正确的人數。

A∪B = A B - A∩B=40 31-A∩B=50-4 A∩B=25

6. 某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，則不交三門課的外語教師有多少名？

答案14

解析 記A類元素為：會說英語的人數；記B類元素為：會說日語的人數；記C類元素為：會說法語的人數。設一種語言都不會說的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=50 45 40-15-10-8 4=120-x X=14

7. A、B、C三本書，至少讀過其中一本的有20人，讀過A書的有10人，讀過B書的有12人，讀過C書的有15人，讀過A、B兩書的有8人，讀過B、C兩書的有9人，讀過A、C兩書的有7人。三本書全讀過的有多少人？答案7

解析 記A類元素為：讀過A書的人數；記B類元素為：讀過B書的人數；記C類元素為：讀過C書的人數。設三本書全讀過的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=10 12 15-8-9-7 x=20 X=7

8. 對廈門大學計算機系100名學生進行調查，結果發現他們喜歡看NBA和足球、賽車。其中58人喜歡看NBA；38人喜歡看賽車，52人喜歡看足球，既喜歡看NBA又喜歡看賽車的有18人，既喜歡看足球又喜歡看賽車的有16人，三種都喜歡看的有12人，則既喜歡看足球又喜歡看NBA的有多少人？

答案26

解析 記A類元素為：喜歡看NBA的人數；記B類元素為：喜歡看賽車的人數；記C類元素為：喜歡看足球的人數。設既喜歡看足球又喜歡看NBA的有x人

A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C=58 38 52-18-16-x 12=20 X=26

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