我們先整理一下此題中出現的數學詞彙,包括“實數”、“比值”、“根号”、“值域”。
從這些詞彙中,我們可以挖掘出解題的關鍵信号:比值、根号、值域。
任何一個關鍵信号都是一條解題線索,從任意關鍵信号出發,都可以指引我們找到答案!
思路有了,我們開始下手吧[靈光一閃]
解法一(高一水平)
關鍵信号:比值
有比值的地方常常伴随着斜率。這裡我們用數形結合的方法。
因為為圓方程。
原式可以改寫為
又因為,
所以原式的幾何意義為四分之一圓(第一象限)上一點與定點的斜率範圍。即下圖中射線逆時針轉到所掃描到的斜率範圍。
解法二(高二水平)
關鍵信号:根号
有根号的地方常常伴随着三角函數。這裡我們嘗試三角換元法。
即
因為為圓方程。
令,則,
則
利用三角函數萬能公式:
令,因為,所以,代入得
令,因為,所以
有
解法三(高三水平)
關鍵信号:值域
求值域的地方常常伴随導數和單調性。這裡我們用求導數的方法。
預備知識:
整理得
在定義域内,上式分子恒小于0,分母恒大于0。所以恒小于0。
所以該函數為嚴格單調遞減函數。
因為,所以
當時,y取得最小值。當是,y取得最大值6。
。
如果你有更多方法,快加入評論區讨論吧![耶]
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