本章的内容：

• 數列的收斂和發散;

• 兩個重要數列;

• 數列極限和函數極限之間的聯系;

• 級數的收斂與發散, 以及幾何級數的斂散性讨論;

• 級數的第n 項判别法;

• 級數和反常積分的聯系;

數列是一列有序的數, 可能是有限項, 也可能有無窮項, 其中有無窮項的數列叫作無窮數列(infinite sequence).

下角标經常用于數列中, 其中 a1 表示數列中的第一項, a2 表示第二項... , 數列經常由一個公式來給出, 比如:

對于無窮數列, 我們主要讨論當 n 趨于無窮時數列的極限值. 數學上表示為, 極限:

是否存在. 如果存在, 值是多少. 如果越來越趨近于L 并一直保持這種趨勢. 則數列 an 收斂, 否則發散.

22.1.1 數列和函數的聯系

在水平漸近線上, 數列和函數有類似極限性質:

另一個重要的事實是三明治定理, 即夾逼定理, 對數列也适用. 此外連續函數保持極限以及洛必達法則對于數學都适用.

22.1 .2 兩個重要數列

取常數 r, 考慮從 n=0 開始取值的數列 an=r^n , 這是一個等比數列:

上面這些都是下述一般規則的特例:

另一個很有用的數列, k 為任意常數:

級數(Series)就是将數列 an 的所有項都相加起來. 無窮級數可寫為:

重要的一點是：級數收斂還是發散與起始項無關!

幾何級數(理論) Geometric series

來看如下一個等比數列的無窮幾何級數的重要例子, 問題是, 該級數收斂嗎？若收斂, 收斂于何值？

為了求解, 我們最好看一下部分和. 選擇數 N, 則部分和 AN , 用求和号表示為:

但注意: 第n 項判别法不能用于級數收斂性的判别!

反常積分的四個判别法對無窮級數仍适用.

22.4.1 比較判别法(理論)

假設級數 ∑an 每一項為正, 若級數發散, 則隻要找到一個更小的發散級數 ∑bn , 即證.

22.4.2 極限比較判别法(理論)

22.4.3 p 判别法(理論)

調和級數(Harmonic Series)

22.4.4 絕對收斂判别法

級數前面有限項不影響級數最終的收斂性. 所以如果級數從某一項後均為正(或者均為負), 則可隻讨論後面的新級數部分.

如果是交錯級數, 則用絕對收斂判别法: 若∑|an|收斂, 則 ∑an 也收斂.

22.5.1 比式判别法(理論)

該判别發隻能用于級數, 級數相鄰兩項的比 bn . 如果新數列 bn 收斂與小于 1 的數, 則原級數收斂.

22.5.2 根式判别法(理論)

考慮的是第 n 項絕對值的 n 次方根, 構造新數列 bn=|an|^(1/n) , 求極限. 若極限<1, 則原級數收斂. 若極限值>1, 則發散. 如果極限值=1, 需要采用其他方法讨論.

22.5.3 積分判别法(理論)

(完)「予人玫瑰, 手留餘香」

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