一元二次方程實際應用題一般是九年級上學期期中考試的常考題,有四類問題經常出現在期中考試試卷中。在解應用題時,我們首先要讀懂題意,找到等量關系式,根據關系式列出方程。求出答案後,需要檢驗方程的解是否滿足條件,注意要使實際有意義。
增長率問題增長率問題是一元二次方程中最常見的一類問題,設a為增長前的量,b為增長後的量,m為增長率,一般是2年,即次數為2,可以得到a(1 x)^2=b,下降也類似。
例題1:随着人民生活水平的不斷提高,某市家庭轎車的擁有量逐年增加,據統計,某小區2018年底擁有家庭轎車64輛,2020年底家庭轎車的擁有量達到100輛,若該小區家庭轎車擁有量的年平均增長率相同.求該小區家庭轎車擁有量的年平均增長率
分析:本題考查了一元二次方程的應用.增長率問題:若原數是a,每次增長的百分率為a,則第一次增長後為a(1 x);第二次增長後為a(1 x)^2,即 原數×(1 增長百分率)^2=後來數.
變式題:某公司今年7月的營業額為2500萬元,按計劃第三季的總營業額要達到9100萬元,求該公司8月、9月兩個月營業額的月均增長率.
分析:用增長後的量=增長前的量×(1 增長率).即可表示出8月、9月的營業額,根據第三季的總營業額要達到9100萬元,即可列方程.
這類題目要看清,是兩年後的量,還是總量(幾年的量之和)。
利潤問題在一元二次方程中,利潤問題比較重要,也可以與二次函數結合起來考查。單件利潤=售價-進價;總利潤=單件利潤×銷售量,銷售量與漲價(或降價)有關。
例題2:某商店如果将進價8元的商品按每件10元出售,那麼每天可銷售200件,現采用提高售價,減少進貨量的方法增加利潤,如果這種商品的售價每漲1元,那麼每天的進貨量就會減少20件,要想每天獲得640元的利潤,則每件商品的售價定為多少元最為合适?
分析:設每件商品的售價定為x元,則每件商品的銷售利潤為(x-8)元,每天的進貨量為200-20(x-10)=(400-20x)件,利用每天銷售這種商品的利潤=每件的銷售利潤×日銷售量(日進貨量),即可得出關于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再結合“現采用提高售價,減少進貨量的方法增加利潤”,即可得出每件商品的售價定為16元最為合适.
求解到答案後,要記得取舍,如果題目中出現限制性條件,比如少于、多于某個條件(不等式)、盡快清理庫存等等,那麼需要舍答案。
幾何圖形問題幾何圖形問題中“籬笆問題”考查較多,一般有一面牆,牆的長度可以驗證最終答案。如果遇到的題目中有“門”,記得先将門給堵起來再計算。
例題3:校園前門花園上有一面牆,長度為12m,地鐵施工,需要隔離部分矩形地塊,用長為26m的籬笆和這面牆圍成了80平方米的矩形,如圖所示.求AB和BC分别為多少?
分析:設AB邊長為x米,則BC邊長為(26-2x)米,根據矩形的面積=長×寬=80列出方程即可得出答案.
變式題:某農戶建一個養雞場,養雞場的一邊靠牆,若牆長為19米,牆對面有一個2米寬的門,另三邊用竹籬笆圍成;籬笆總長34米,長方形養雞場除門外四周不留空隙.(1)若要圍成的雞場面積為160平方米,則養雞場的長和寬各為多少米?(2)圍成養雞場的面積能否達到180平方米?請說明理由.
分析:(1)設垂直于牆的一邊長為x米,則平行于牆的一邊長為(34 2-2x)米,根據養雞場的面積為160平方米,即可得出關于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,結合牆長19米,即可确定養雞場的長和寬;
(2)不能,設垂直于牆的一邊長為y米,則平行于牆的一邊長為(34 2-2y)米,根據養雞場的面積為180平方米,即可得出關于y的一元二次方程,由根的判别式Δ=-36<0,即可得出該方程無實數根,即圍成養雞場的面積不能達到180平方米.
本題考查了一元二次方程的應用以及根的判别式,解題的關鍵是:(1)找準等量關系,正确列出一元二次方程;(2)牢記“當Δ<0時,方程無實數根”。
例題4:如圖所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動,點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.如果P,Q分别從A,B同時出發.(1)經過幾s,使△PBQ的面積等于8平方厘米?(2)線段PQ能否将△ABC分成面積相等的兩部分?若能,求出運動時間;若不能說明理由.
分析:(1)設運動時間為t s(0≤t≤4),則BP=(6-t)cm,BQ=2t cm,根據△PBQ的面積等于8平方厘米,即可得出關于t的一元二次方程,解之即可得出使△PBQ的面積等于8平方厘米的運動時間;
(2)設運動時間為x s(0≤x≤4),則BP=(6-x)cm,BQ=2x cm,根據△PBQ的面積等于△ABC的面積的一半,即可得出關于x的一元二次方程,由根的判别式Δ=-12<0,即可得出該方程無實數根,即線段PQ不能将△ABC分成面積相等的兩部分.
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