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一文搞定數學文化

本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

我眼中的數學思想

作者 : 劉瑞祥

作品編号：097

數學思想是一個很大的題目，論述的人很多，但是有的文章雖然以“數學思想”為标題，而内容卻未必真的是數學思想，可能隻是具體的解題方法。本文談談我眼中的數學思想。需要提前說明的是，這裡隻是我——一個普通數學愛好者——眼中的數學思想。

一、抽象化思想

最重要、最基本的數學思想就是抽象化。打從人類認識數字開始，就有了抽象化思想，可以說抽象在數學中無所不在，理應成為數學思想中的No.I。各種幾何對象亦是抽象了的産物，比如點、線、面等等。尺規作圖方面，直尺被抽象成無限長、無刻度的工具，圓規被抽象成腳距任意的工具，如此等等。進一步看，無論是集合，還是布爾代數，都是把研究對象盡量抽象，一直抽象到隻剩一個字母作為軀殼而已。再比如歐拉對哥尼斯堡七橋問題的研究，也是把橋抽象成線，島抽象為點的。抽象舍棄了與當下無關的次要因素，從而更深刻揭示事物的本質特征，展現出不同事物之間的共同點。而現代數學中的抽象早已超出了人類能直接想象的範圍。

數學的抽象還影響到了其它學科。以力學為例，質點、質點組、剛體、彈性體等等就是客觀實物不同程度的抽象。

二、确定性思想

自從數學誕生以來，數學問題的答案正誤就像黑白一樣分明。等于就是等于，不等于就是不等于。哪怕兩者之間有着萬億分之一的差距，已經在現實中無法分辨，但在嚴格的數學上仍然是有區别的。這其中最佳例子就是圓周率，雖然現代數學已經可以計算出若幹億位數字，而它的精确表示方法仍然隻是字母π。

說到這裡我要補充一句，那就是伴随着現代數學的發展，好像這一思想已經變得過時了。不是有一本書就叫做《數學：确定性的喪失》嗎？但在我這個低水平寫手的眼裡，這不過是一種誤解，因為所謂“确定性的喪失”，其實是前提或者問題本身的變化而變化的。比如所謂非歐幾何，因為前提（公設）和歐氏幾何不同，所以才推出不同的結論。而要研究這些問題可能的結果，仍然需要數學。這正像工業化帶來了環境污染，但要解決污染就要進一步發展工業。

三、公理化思想

說實話，這才是我第一個想到的數學思想，因為我畢竟是通讀過《幾何原本》的人。公理化方法其實基本就是邏輯法，在數學上的地位毋庸置疑，而其曆史和意義我也不再重複。我隻說一個問題：一般談到公理化的人，往往會提到自洽性、獨立性、完備性這三個特點。但從實用的角度來看，公理還應該具有簡潔、方便的特點。比如三角形内角定理、勾股定理在一定程度上反映了平行公設，那為什麼不以之代替平行公設呢？原因就在于不方便、不直觀。

公理又是反直觀的産物，因為如果把全部數學（當然這裡的“全部”是指某個研究領域的“全部”）都歸為公理的産物，那麼這些公理必然是已經去掉了直觀的表象，隻剩下一堆邏輯命題。這當然對某些領域是有益的，比如機器證明，但對于人們的理解卻是困難的。

四、算法化思想

我們在稱贊公理化的同時，不應該忘記算法化思想，或者也可以稱為“機械化思想”。不論這在古代是不是東方（中國）獨有的思想，都無損于它獨立于公理化思想的地位。它和公理化思想互相補充，相映成趣，宛如數學上的并蒂蓮花。在數學上，凡是可以寫成一定算法的内容，意味着具有簡單、通用的解答方法，當然這個算法越簡單就越好。比如用阿拉伯數字演算加減乘除，就比用羅馬數字方便，再比如使用方程解應用題，就比直接列式容易，因為方程不但意味着多了一個條件（把未知量用字母表示出來），也意味着隻要按照一定的程序，就可以得到結果。

在現代社會，算法更是得到了計算機的加持，可以發揮更大作用。我國數學家吳文俊、張景中等，深入挖掘算法思想，在機器證明領域做出了突出貢獻。這充分證明了算法思想對現代數學的意義。

五、模型化思想

談數學思想，不能離開模型化思想。比如前面提到的公理化思想中已經涉及非歐幾何，而非歐幾何的“合法地位”是和數學家建立非歐幾何的模型分不開的。數學家适當修改了關于“直線”“平行”等概念的定義（或人們對之的印象），使得原來的平行公理不再适用。當然模型對幾何基礎的功勞不止于此，比如普通的四面體就可以看作是某些公理的一個模型：它滿足兩點（這裡的點僅指“頂點”）确定一直線、兩線交于一點等公理。

實數論把實數和直線上的點對應起來，從而使得實數有了堅實的基礎。而複數則是模型化的又一個例子。平面上的點和複數建立一一對應的關系，這以後就可以用平面上點的坐标研究複數了。類似的，高維空間超出了人類直覺把握的能力，如何研究？方法很簡單，就是用列（或行）向量作為其模型，使高維空間的點和一組實數對應起來。

六、轉化思想

數學上的轉化無處不在。最初等的比如把應用題中的條件轉化為式子，高級一點的比如把數量關系轉化為圖形。适當的轉化往往可以簡化問題，為我們最終解決問題提供一個良好的途徑。比如，設a,b,c,d均大于0且a/b<c/d，則可證a/b<(a c)/(b d)<c/d。這個問題雖然可以借助字母進行推理，但無論如何不如轉化為斜度、平均速度等問題來得直接、清楚。而式子

更需要借助類似于下面的圖來證明。

再舉幾個轉化的例子吧。比如怎樣得出平行四邊形面積公式？方法便是将其轉化為長方形。而幾何中更常見的是各種數量關系和圖形位置的轉化，比如要證明平行，可證明同位角相等，反之亦然。反證法也是轉化的例子，如果你無法直接證明，可以證明結論的反面不成立。

前面提到的模型化思想，似乎也可以稱為轉化思想，但二者在本文中的區别是，模型化指的是更“基本”的方面，往往針對一個數學領域，而“轉化”則是針對具體的數學問題。

七、極限思想

極限是微積分的基本概念，而微積分在現代數學中的地位是無可置疑的。衆所周知的是，極限概念經過幾代數學家的努力，終于有了一個堅實的基礎。由此，微積分才成為一個可以放心使用的工具。

在幾何上，極限有幾個重要應用：首先是割線的極限為切線，其次是利用極限方法求面積和體積。這正是微分和積分的源頭。然而微積分一旦産生，就沖出數學界，成為各個領域的有力工具，這甚至早在極限概念嚴格化之前就發生了。

愈是重要的就愈難用語言描述。關于極限，就說到這裡了。

八、恒定思想

隻有真正永恒的才是有價值的。這句話雖然是楊振甯先生為懷念鄧稼先而寫的，但同樣适用于其它領域，比如數學。在數學上，有意義的是某種變換下不變的量。以歐拉定理為例，V-E F=2，這個常量2就是一個重要的不變量，它揭示了不同的簡單多面體之間的聯系。如果引入“體數”S，則上式可以寫作V-E F-S=1，這裡各字母依次是點（零維）、棱（一維）、面（二維）、體（三維）。不但如此，對于一維圖形，由二點一線組成，二維簡單圖形則是n點n線，均滿足後者。射影幾何中，也有很多重要的不變量（不變關系），比如交比、結合性等。

在解方程（不等式）的過程中，需要保持每一步變形都是同解變形，如果遇到可能産生不同解的操作，則需要驗根。

關于這一思想，我要說明的最後一點是，這個思想的名字是我自己起的，因為我沒有找到合适的專有名詞。

歡迎讀者的補充和讨論。

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