第1課時　并集與交集

課程标準：1.理解兩個集合并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.2.能使用Venn圖直觀地表達兩個集合的并集與交集，體會圖形對理解抽象概念的作用．

教學重點：1.并集與交集的含義(自然語言、符号語言、圖形語言).2.求兩個集合的并集與交集．

教學難點：1.并集中“或”、交集中“且”的正确理解.2.準确地找出并集、交集中的元素，并能恰當地加以表示.

【知識導學】

知識點

一　　　并集

并集的運算性質：

A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B⇔A⊆B.

知識點

二　　　交集

交集的運算性質：

A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B.

【新知拓展】

集合的交、并運算中的注意事項

(1)對于元素個數有限的集合，可直接根據集合的“交”“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．

(2)對于元素個數無限的集合，進行交、并運算時，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意端點值取到與否．

1．判一判(正确的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)若A∩B＝∅，則A，B至少有一個是∅.(　　)

(2)若A∪B＝∅，則A，B都是∅.(　　)

(3)對于任意集合A，B，下列式子總成立：A∩B⊆A⊆A∪B.(　　)

(4)對于任意集合A，B，下列式子總成立：A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.(　　)

(5)對于兩個非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×

2．做一做

(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數為(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

(2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，則A∪B＝(　　)

A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}

C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}

(3)已知集合A＝{1,2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，則x＝________.

答案　(1)D　(2)A　(3)0

題型一 求兩個集合的交集與并集

例1　已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|－2≤x<1}，求A∩B，A∪B.

[解]　把集合A與B在數軸上表示出來，如圖所示．

由上圖可得，A∩B＝{x|－1<x<1}，A∪B＝{x|－2≤x≤2}．

集合A與B的“交”“并”運算，實質上就是對集合A與B中元素的“求同”“合并”：

1A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分，特别地，當集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝∅.

2對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區别，它們是“相容”的.“x∈A或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A，B兩者之一的元素組成的集合.

　已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|－2≤x<0}，求A∩B，A∪B.

解　A∩B＝{x|－1≤x<0}，A∪B＝{x|x≥－2}.

題型二 簡單的含參問題

例2　已知集合A＝{0,1}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}．求A∩B，A∪B.

[解]　集合B是方程(x－1)(x－a)＝0的解集，它可能隻有一個元素1(a＝1)，也可能有兩個元素1，a(a≠1)．

(1)當a＝1時，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1}；

(2)當a＝0時，A∩B＝{0,1}，A∪B＝{0,1}；

(3)當a≠0且a≠1時，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1，a}．

由于參數a的變化，集合B中的元素也在變化，即集合B是變化的集合，因此需要分類讨論；特别注意，不能把集合B寫成{1，a}(因為當a＝1時，不滿足元素的互異性)；對于兩集合的“交”“并”運算，應當首先弄清兩集合中的元素是什麼，之後再根據集合“交”“并”運算的概念求解．

　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|x≤1或x≥2}，且A∩B＝A，求a的取值範圍．

解　∵A∩B＝A，∴A⊆B，

∴分A＝∅和A≠∅兩種情況讨論．

①若A＝∅，此時有2a－2≥a，∴a≥2.

②若A≠∅，

則有或∴a≤1.

綜上所述，a≤1或a≥2.

題型三 類似于“交”“并”運算的一些新定義型問題

例3　設M，P是兩個非空集合，規定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根據這一規定，M－(M－P)等于(　　)

A．M B．P

C．M∪P D．M∩P

[解析]　當M∩P≠∅時，由圖可知M－P為圖中的陰影部分，則M－(M－P)顯然是M∩P；當M∩P＝∅時，M－P＝M，此時M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P，故選D.

[答案]　D

金版點睛

題目給出了兩個集合的一種運算“M－P”，其運算法則是：M－P是由所有屬于M且不屬于P的元素組成的集合，弄清法則便可以進行運算，特别是借助Venn圖，使問題簡捷明了.

　設A，B是兩個非空集合，規定A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，求A*B.

解　∵A∪B＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{1,2}，

∴A*B＝{0,3,4}．

1．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇數}，B＝{x|x是9的正因數}，則A∩B＝________，A∪B＝________.

答案　{1,3}　{1,3,5,7,9}

解析　由題意，知A＝{1,3,5,7}，B＝{1,3,9}，所以A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,3,5,7,9}．

2．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，則A∩B＝________.

答案　{x|x是正方形}

解析　菱形的四條邊相等，矩形的四個角均為90°，四條邊相等并且四個角均為90°的四邊形為正方形，所以A∩B＝{x|x既是菱形，又是矩形}＝{x|x是正方形}．

3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，則A∩B＝________.

答案　{(3,1)}

解析　由題意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝，

解得故A∩B＝{(3,1)}．

4．已知A＝{x|－4<x≤2}，B＝{x|－2≤x≤3}，則A∩B＝________，A∪B＝________.

答案　{x|－2≤x≤2}　{x|－4<x≤3}

解析　把集合A與B在數軸上表示出來，如圖所示．

由上圖可知，A∩B＝{x|－2≤x≤2}，A∪B＝{x|－4<x≤3}．

5．已知A＝{x|x>a}，B＝{x|－1≤x≤1}，若A∪B＝A，則a的取值範圍是________．

答案　a<－1

解析　A∪B＝A⇔B⊆A，則a<－1，故a的取值範圍是a<－1.

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!