【分析方法導引】

在有關圓的問題中，如果不考慮有關線段之間的數量關系時，就應想到要應用與圓有關的角的基本圖形進行證明。

當幾何問題中出現了同一個圓上的四點時，就可以想到應用圓周角的基本圖形進行證明。接下來就應分析問題中出現的所要研究和讨論的角是出現在圓内接四邊形的内角或外角上，還是出現在同弧所對的圓周角上。若出現在圓内接四邊形的内角或外角上，則添圓内接四邊形的邊而不必連對角線，然後應用對角的互補關系或外角與内對角的等量關系來完成證明。若出現在同弧所對的圓周角上，則添加兩條對角線而不必添一組對邊，然後應用同弧所對圓周角的等量關系完成分析。

當幾何問題中出現了圓的直徑和半圓上的一點或者出現了90°的圓周角時，就可想到要應用半圓上的圓周角的基本圖形進行分析。如有直徑和半圓上的點而沒有圓周角時，應将半圓上的點與直徑的兩端點分别連接；如有90°的圓周角而沒有直徑時，應聯結圓周角的兩邊與圓的交點，而這條連線必定過圓心，也就必定是圓的直徑。接下來就可以應用直角三角形的性質完成分析。

圖4-5

分析：本題條件中出現了△ABC内接于⊙O，P是⊙O上的點，也就是出現了A、B、P、C四點共圓，所以可應用圓周角的基本圖形的性質進行證明。

由條件∠BAP=∠CAP，且這兩個角都是圓周角，所以可得弧PB=弧PC，并可進一步推得PB=PC。

接下來的問題就是要證明PI=PC,這是兩條具有公共端點P的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，問題也就成為一個等腰三角形的判定問題。于是要證PI=PC，就可轉化為證明它的等價性質∠PIC=∠PCI。從圖形中我們可以看出∠PCI=∠PCD ∠DCI，而由A、I、P成一直線，可得∠PIC是△ACI的外角，∠PIC=∠IAC ∠ACI，由條件∠DCI=∠ACI，所以問題又成為要證∠PCD=∠IAC，那麼由A、B、P、C四點共圓（如圖4-6），可得∠PCB=∠PAB，而已知∠PAB=∠PAC，所以分析可以完成。

圖4-6

例4 如圖4-7，已知：△ABC内接于⊙O，I、K分别是△ABC的内心和旁心，IK交⊙O于E。求證：EI=EK。

圖4-7

分析：由條件I、K分别是△ABC的内心和旁心，可得IA、KA都是∠A的平分線，A、I、E、K成一直線，且IB、KB分别是∠B和∠B的外角平分線，于是IB⊥KB。而本題要證明的結論是EI=EK，這樣就出現了E是Rt△IKB的斜邊的中點，從而可應用直角三角形斜邊上中線的基本圖形的性質進行證明。現在圖形中這條斜邊上的中線尚未出現，所以應先将它添出，也就是聯結EB（如圖4-8），于是要證EI=EK，就應證明EI和EK都和EB相等，再進一步就應證EI=EK的等價性質∠EIB=∠EBI成立。又因為∠EIB=∠BAI ∠ABI=1/2∠CAB 1/2∠ABC，∠EBI=∠EBC ∠IBC=∠EBC 1/2∠ABC，所以隻要證明∠EBC=1/2∠CAB=∠EAC。而由條件A、B、E、C四點共圓性質得證。

圖4-8

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