數學的兩大研究對象：數量和圖形。兩者結合，方能釋放出數學終極奧義。

回顧數學的發展史，每次數形結合都能夠誕生出新的數學思想，将整個數學向前推進一大步：

笛卡爾将三維空間與代數結合，誕生了解析幾何；

牛頓将非規則圖形與級數結合，誕生了微積分；

懷爾斯将橢圓曲線與數論結合，解決了費馬大定理……

今天，我們就來體驗一下數形結合的魅力。

先看一道号稱是北大招生題：

網上答案基本上都是純粹用代數方法求解的：通過代數變換，用a和b來表示c，再整理成以a的表達式為系數、關于b的一元二次方程，最後用一元二次方程的判别式定理（韋達定理）就可以得到關于a的不等式，從而求出a的最小值。

但是該方法要做大量的代數運算，而且求解過程不夠直觀。有沒有更好的方法呢？

筆者另辟蹊徑，用“數形結合”來秒殺這道題。

數形結合的關鍵就是找到代數表達式的幾何意義。

a,b,c的平方和等于1，根據球的代數方程可知，如果把a,b,c分别看作三維坐标系中的分量，那麼a,b,c表示的點P，正好落在以坐标原點O為球心、半徑為1的球上。

如果忽略abc的符号，那麼abc表示的就是以P到各坐标軸的垂線段構成的長方體的體積。

那麼(1-b)、(1-c)表示的是什麼呢？從下圖可以看出：

bc=左下角陰影長方形的面積S1，

(1-b)=右上角陰影長方形的長，

(1-c)=是右上角陰影長方形的寬，

所以(1-b)(1-c) = S2

所以，abc=(a-1)(b-1)(c-1)表示的幾何意義就是：

保持長方體的體積不變，長方體的橫截面積從S1變成S2時，高從|a|變成|1-a|

從而|1-a|/|a| = S1/S2

既然a要盡可能小，那麼a取負值更好，此時：

|a|=-a，|1-a| = 1-a，

|1-a|/|a| = 1-a/(-a) = -1/a 1

顯然，a越小，上式的值越小，從而S1/S2越小

第一步：将目标式整理成多元函數，然後對多元函數求偏導數，令偏導數為0得到聯立方程組，從而得到駐點的坐标

第二步：根據判别式，判斷駐點是否是極值，如果是極值是極大值還是極小值

第三步：檢查邊界點，比較之後得到最終的最大值或者最小值

因為點在球面上，所以可以用傳統的球面角關系得到S1/S2關于ɑ和Θ的二元函數。

具體過程如下：

由上圖可知：若設O'P = r，則：

S1 = (r^2)sinɑcosɑ

S2 = (1-rsinɑ)(1-rcosɑ)

所以S1/S2 = (r^2)sinɑcosɑ / (1-rsinɑ)(1-rcosɑ) （式1）

由上圖可知：

OP就是球的半徑，所以OP = 1

r = O'O = OPsinΘ = sinΘ （式2）

将式2代入式1得到：

S1/S2 = (sinΘ^2)sinɑcosɑ / (1-sinΘsinɑ)(1-sinΘcosɑ) （式3）

很顯然，對上式求偏導數，計算量不小，那麼有沒有更簡單、更直觀的方法呢？

從下圖可以看出：

1. S1/S2随着P點沿圓周運動而變化

2. 當P移動到與對角線鏡像對稱的Q點時，對應陰影長方形與P點的陰影長方形是對稱的。

這意味着：Q點的S1/S2 = P點的S1/S2

很自然地，我們會想到：

對角線與圓周的交點P'的S1/S2與它旁邊的點P的S1/S2的大小關系是怎樣的呢？

如果P'的S1/S2比它旁邊任意點的S1/S2都要小，那麼P'就是所求的最小值點。

P'點有一個很好的性質：P'點對應的兩個陰影長方形都是正方形。

為方便後面的描述，假設：

P'點對應的左下角正方形的邊長為L1，右上角的正方形邊長為L2

則L1 L2=1

當P'移動到P時：

1. S1上半部縮減面積S1-、下半部向右延伸S1 ，淨增加量delta1=(S1 )-(S1-)

2. S2上半部縮減面積S2-、下半部向下延伸S2 ，淨增加量delta2=(S2 )-(S2-)

我們來簡單計算一下S1 、S1-、S2 、S2-：

假設P'與P橫向坐标距離為d，縱向坐标距離為h，那麼：

S1- = hL1-hd

S1 = dL1-hd

S2 = hL2-hd

S2- = dL2-hd

所以：

delta1 = (dL1-hd)-(hL1-hd) = (d-h)L1 （式4）

delta2 = (hL2-hd)-(dL2-hd) = (h-d)L2 （式5）

由上圖可知：

P'的切線的斜率 = 1，橫向坐标與縱向坐标相等

P'的切線的斜率 < P的切線的斜率

可以推出：P的橫向坐标 < P的縱向坐标

而

d = |P'的橫向坐标 - P的橫向坐标|

h = |P'的縱向坐标 - P的縱向坐标|

從而：d>h

代入式4和式5，得到：

delta1 = (d-h)L1 > 0

delta2 = (h-d)L2 < 0

P點的S1=P'點的S1 delta1 > P'點的S1

P點的S2=P'點的S2 delta2 < P'點的S2

相當于P'的S1/S2的分子增大、分母減小，那麼整體值就增大

這意味着：P點的S1/S2 > P'的S1/S2

由P點的任意性可得：

P'的S1/S2比它旁邊任意點的S1/S2都要小，P'就是所求的最小值點。

其實，還可以進一步證明P'向兩邊滑動時，S1/S2是單調增加的，這個就留給有興趣的同學了：）

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