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怎麼畫分式函數圖像

生活 更新时间:2025-01-20 22:40:15

作函數圖像的一般步驟:

1、求函數的定義域;2、考察函數的奇偶性、周期性;3、求函數的某些特殊點,如與兩個坐标軸的交點,不連續點,不可導點等;4、确定函數的單調區間,極值點,凸性區間以及拐點;5、考察漸近線;6、畫出函數圖象。

由于老黃最近都在探究作函數圖像方面的内容,所以最近的作品開頭都是一模一樣的,都是複習作函數圖像的一般步驟,因為這個一般步驟,也是正文的依據。

這次要作圖像的是分式函數f(x)=x^3/(2(1 x)^2).

按函數作圖的一般步驟,作f(x)=x^3/(2(1 x)^2)的圖像.

分析:函數在x=-1沒有定義,所以函數的定義域是x≠-1,或(-,-1)U(-1, ),兩種表達形式都是允許的。另外,這個函數既沒有奇偶性,也沒有周期性。不過函數過原點,這一點倒是很容易發現的。

求導可得f'(x)=x^2(3 x)/(2(1 x)^3)=0時,函數有兩個穩定點x=0和x=-3. 又f'(x)的符号性質由(3 x)與(1 x)的商決定,所以,在(-,-3)U(-1, ),f'(x)>0,函數單調增;在(-3,-1),f'(x)<0,函數單調減。

由極值第一充分條件可以知道,x=-3是函數的極大值點,極大值f(-3)=-27/8. 但x=-1不是函數的極值點,因為函數在x=-1沒有定義。

繼續求二階導數,可得f"(x)=6x/(2(1 x)^4),可見,當x<0時,f"(x)<0,曲線上凸;當x>0時,f"(x)>0,曲線下凸(凹)。且f在x=0連續,所以f有拐點(0,0).

不要以為不是極值點的駐點就是拐點,錯誤地以為不需要求二階導數,隻需要由這個命題,就能确定(0,0)是拐點。首先,不是極值點的駐點未必就是拐點;其次,求二階導數既可以确定函數的凸性區間,也可以檢驗函數是否還有其它拐點。

最後讨論漸近線的問題。令最簡分式函數的分母等于0的點,x=-1,就形成曲線的一條豎直的漸近線。注意,這個定理一般隻在最簡分式函數才有效。如果分子出現其它函數,比如三角函數,自然對數函數等,x=-1有可能使分子也等于0,又不能把兩個0約掉,就要求趨于-1時,函數的極限了。隻有極限是無窮大時,x=-1才是函數的豎直漸近線。

設曲線還有斜的漸近線y=ax b,則

a=lim(x->)(f(x)/x)=lim(x->)(x^2/(2(1 x)^2))=1/2.

b=lim(x->)(f(x)-ax)=lim(x->)((-2x^2-x)/(2(1 x)^2)=-1.

所以曲線有漸近線y=x/2-1.

怎麼畫分式函數圖像(運用函數作圖像的一般步驟)1

歸納函數圖像的性态如表:

怎麼畫分式函數圖像(運用函數作圖像的一般步驟)2

作得函數的圖像如圖:

怎麼畫分式函數圖像(運用函數作圖像的一般步驟)3

圖像畫得并不是十分準确,因為手動畫出準确圖像其實是十分麻煩的。大家也不妨動手畫一畫,那樣對利用函數性态畫函數圖像的能力提升,會有很大的幫助哦。

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