空間站的飛行軌迹是怎樣形成的？衛星是如何繞地飛行的？3月18日12時，《張朝陽的物理課》第三十六期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，回歸經典力學，推導空間站的飛行軌道等問題。他先從牛頓力學出發，為網友們解答了衛星為什麼能在天上運行而不掉下來，接着帶領大家複習了第一、第二宇宙速度的計算以及同步衛星的概念，在課程結尾演示了萬有引力下的能量守恒定律和衛星軌迹方程的求解。

複習第一、第二宇宙速度 計算同步衛星軌道半徑

為便于理解，在本次直播中張朝陽先帶網友複習了第一、第二宇宙速度的計算，并且介紹了同步衛星的概念。為此，張朝陽先根據牛頓第二運動定律F=ma寫出衛星做圓周運動的方程：

張朝陽解釋道，做勻速圓周運動的物體，其速度大小雖然沒有改變，但是速度的方向是在不斷變化的，因此這個物體具有加速度。首先，角速度是角度随時間的變化率，而速度等于角速度與半徑的乘積：

他畫指示圖來進行說明：

張朝陽在直播中推導圓周運動加速度公式

在一個很小的時間間隔上，速度的改變量指向圓心，它的大小等于速度乘以角度改變量。除以dt就可以得到加速度的公式：

将此加速度公式代回衛星圓周運動方程，化簡可得衛星的速度：

G和M分别是萬有引力常數和地球質量。随後，他在白闆上演示了如何通過“黃金代換公式”将G和M換成更常見的物理量。為此，張朝陽考慮了地球表面的萬有引力：mg=GMm/R^2，這裡R表示地球半徑，m表示地球表面附近物體的質量，g表示地球表面附近的重力加速度。于是有GM=gR^2。将這個結果代回衛星速度公式就得到：

張朝陽介紹，第一宇宙速度就是地球表面附近的衛星繞着地球做圓周運動時的速度。此時 r近似為R，于是得到第一宇宙速度公式：

這個速度的值是7.9km/s。而對于地球同步衛星，其公轉周期與地球自轉周期相同，即其公轉角速度應等于地球的自轉角速度。張朝陽将速度換成角速度乘以軌道半徑，于是得到：

代入地球自轉角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數值，張朝陽算得同步衛星軌道半徑約為42600 km。“所以，為了保證衛星同步轉動，其運行的軌道半徑必須為四萬兩千多公裡。” 張朝陽總結道。

接下來，張朝陽繼續介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度，就是物體從地球表面出發逃逸到無窮遠處至少所需的初速度。

他先考慮了物體沿徑向運動的情況。假設物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸，到了無窮遠處這個物體的速度必須是零，否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時候引力做的功剛好抵消掉物體的動能，于是有：

于是得到第二宇宙速度公式：

這個速度大小是11.2 km/s。推導這個結果時考慮的是徑向運動，因此張朝陽提了一個問題，如果物體以這個速度從切線方向飛出，那它還能不能逃逸到無窮遠處呢？他介紹，這個問題将在下一次課程直播中解答。

推導萬有引力下的能量守恒 解釋衛星動能勢能總和不變

随後，張朝陽又進行了萬有引力下的能量守恒定律的推導，揭示衛星在引力場中的總能量由動能和引力勢能兩部分組成，衛星運動期間總能量保持不變。考慮到情況的普遍性，張朝陽使用了矢量分析的工具來進行推導。當物體在引力場中運動了一小段距離時，引力場做的功是：

其中矢量er是徑向單位矢量。張朝陽給網友們詳細演示了如何對此式進行化簡：

于是萬有引力做的功可以化為：

又因牛頓第二運動定律：

于是得出：

張朝陽解釋道，括号裡邊的值就是總能量。在物體運動過程中，總能量的改變量為0，這就是引力場下的能量守恒定律。總能量表達式中的第一項是物體的動能，帶負号的第二項是它的引力勢能。

張朝陽推導引力場下的能量守恒定律

推導萬有引力下的衛星軌迹 計算橢圓軌道時的極值距離

在地球引力下，衛星是如何運行的？張朝陽繼續進行推演。首先，他引入了極坐标，并作如下推導：

其中上标的撇号表示對時間求導。該推導需結合張朝陽直播所畫的示意圖來理解。

張朝陽推導所用圖示

結合萬有引力下的牛頓第二定律：

對比徑向分量和角向分量立即得到：

于是r^2θ’是常數，張朝陽将其記為a。他解釋道，θ’是單位時間經過的角度，r^2θ’/2就是衛星連接地球中心的線段在單位時間内掃過的面積，這個面積是一個常數，這就是開普勒第二定律。

利用這個常數可以消去角度對時間的導數，從而根據上面的第一個式子得到：

為求解這個方程，張朝陽引入了新的變量y=1/r，并且将對時間的導數化為對角度的導數：

将這個結果代入上面關于r的方程立即得到：

他強調，這是一個很簡單的方程，其通解為y=A cos(θ θ0) GM/a^2，其中A>0。并且，可以重新選取角坐标的原點使 θ0=0，将y代回到原形式1/r，可得：

張朝陽解釋，這正是極坐标下橢圓、抛物線或者雙曲線的方程，也就是說衛星的運行軌迹隻能是這三種曲線中的一種。據此，可以計算當運動軌迹為橢圓時的近地點距離和遠地點距離。軌迹上離地球最近的距離是1/(A B)，最遠的距離是1/(B-A)。

張朝陽推導出衛星的軌迹

據悉，在下節課中，張朝陽将會就空間站軌道的穩定性——當運行軌道受到幹擾時，會發生怎樣的改變進行推導解答。

持續打造知識直播平台 搜狐視頻吸引諸多科普播主入駐

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播三十餘期。張朝陽1986年從清華大學物理系畢業，并于同年考取李政道獎學金赴美留學。1993年底在美國麻省理工學院（MIT）獲得博士學位，并繼續在MIT從事博士後研究，1996年回國創業。

這也是闊别物理20多年後，張朝陽重拾物理。從去年11月開啟第一節物理直播課，他先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律與能量動量守恒原理等；而後從經典物理的“兩朵烏雲”說起，向近現代物理過渡，探讨了由黑體輻射研究引出的維恩、瑞利-金斯、斯特潘、普朗克等系列公式。

此後的物理課程逐步進入量子力學領域，從基礎的薛定谔方程、算符對易關系等理論内容，到無限深勢阱、氫原子波函數，再到諧振子量子化、氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。内容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡交融。

從此前的物理直播課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟：注重推導，通過一步一步詳盡的數學計算，推導出相關的物理公式，把每個公式從頭到尾拆解得十分清晰。正如張朝陽所說，“在好奇心的驅使下，了解自然界的奧秘、了解我們在這個世界生存的道理”。而了解道理最好的方法就是明白道理是怎麼得來的，這也是《張朝陽的物理課》始終堅持用紮實的公式推導來講授物理課程的原因。

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放。

除了《張朝陽的物理課》外，在直播方面，搜狐視頻正持續打造知識直播平台，陸續邀請各領域的頭部播主入駐，進行科普知識直播。包括中國運載火箭技術研究院專家錢航，直播講述航空航天事業發展史；中國科學院基因組研究生博士、元碼基因創始人田埂講解基因組學與生活的緊密聯系；香港科技大學物理系副教授王一則為網友介紹20 世紀以來物理學的發展。

此外，北京交通大學理學院教師陳征博士線上直播開課“奇趣的科學實驗”；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎麼産生的”；理論物理博士周思益也開通“弦論世界”直播課等。未來還将有更多知識播主入駐搜狐視頻，一起互動玩轉科學。

文/金仁甫

編輯/範輝

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