假期時間比較充裕，在群裡晃蕩的時間長了點。

在幫幾位家長判斷了下他們手裡的高中數學課程配套題目的難度後，我發現手頭的素材正好支持寫一篇技術文。

因為我在評判的時候，要求家長們都提供單調性的題目截圖，所以我手裡集合了大概四五個版本，不同難度課程的的單調性題目，同一題型的不同難度題目正好都有。

于是我們就可以從對這些題目的分析中一窺高中數學命題的一些思路——如何增加難度，也可以從這些題目的解決中體會如何運用化歸思想對一些比較難的題目進行分析、轉化。

首先我們來看這道題目，這是抽象函數單調性裡最簡單的題目了。

毫無難度是吧？

就是考察學生對單調性的認識，會利用單調性比較函數值大小。

解答過程就一步。

這種題吧，就毫無價值。

如何增加這道題目的難度呢？

與上一題相比，自變量從确定變成了不确定，題目從直接的判斷函數值大小變成了根據函數值大小和單調性判斷自變量大小。

加參數，是常見的增加難度的方式。

相較于上一題，思路無非是倒了過來，順帶加了一個不等式計算，所以解法多了一步。

這種題吧，在教輔裡出現一次就夠了，出現第二次就是多餘。

如果對此還不滿意，那我們可以繼續如何處理呢？

那就給定義域加一個限制吧。

此時除了根據單調性和函數值大小關系列出自變量大小關系之外，兩個自變量還必須滿足定義域的的限制。

這就是增加了解題需要考慮的因素，需要學生對于定義域的概念認識很到位，知道考慮函數問題首先要考慮定義域。

從上一題的一個不等式變成了三個不等式，提高了對學生的要求。

這就是一個比較典型的題目了，可以在此基礎上圍繞定義域、自變量形式進行變化，但思路都是一緻的，需要考慮的易錯點也是一緻的。

這種題，大概有資格在一些高中教輔中出現，但難度類比大概就是普通高中普通班吧。

好吧，出題老師覺得這些變化都弱爆了，沒啥意思，毫無技術含量，有辱自己的聲譽，于是他決定在上題的基礎之上稍微變形。

這下除了單調性，又加上了奇偶性，這樣學生在之前題目的基礎上，還需要結合兩個性質構造出函數的圖像——開口向上的關于y軸對稱的類抛物線圖形，然後将函數值的大小關系轉化為兩個自變量絕對值的大小關系。

這就使得題目變成了一個小小的綜合題——綜合了單調性、奇偶性、定義域、圖像、軸對稱函數的函數值大小關系。

相較于上一題，涉及的知識點變多了，解題的流程變長了，運用的手段也豐富了。

這種題目大概可以在普通高中重點班，重點高中普通班的教輔、考試中露個臉。

出題老師心滿意足，拿着這道題去找年級備課組長，準備出在這周的周考裡，誰知道組長看了之後，輕蔑的微微一笑，把他的題目改的面目全非。

年輕老師看到後，才發現自己還是太天真。

相較于自己上一道題，這道題雖然去掉了奇偶性，但是需要根據抽象函數性質判斷單調性，還需要通過題目給出的運算性質轉換成之前那種函數值不等式，再利用單調性解決問題，同時仍然需要考慮定義域。

相較于自己的題，通過構造判斷抽象單調性對于一部分學生來說是很生疏的内容，使得解題過程拉長，加大了難度。

這就是出在難點上了，妙啊！

這種題目就在重點高中普通班裡算是中上難度，在重點班裡就一般吧，在一些普通同步教輔中算是靠後的題目了。

他剛要誇兩句，卻發現備課組長雙眉緊皺，似乎還不是特别滿意，“這個題出的太多了，好多孩子都把這種題型記住了，直接套對數函數模型，沒意思，要不換換吧。”

年輕老師看着這道題目，有些猶豫，這道題目和之前的類型看上去有些類似，難度和上面哪道題目差相仿佛，但其實考察的點就不太一樣了，之前是抽象函數單調性，這道題目就變成了直接判斷分段函數單調性了——需要根據x範圍進行分類讨論，可能還需要畫出圖像來判斷函數的單調性。

重要的是學生要能夠通過觀察解析式找到分類讨論的思路，提高了切入的門檻，數形結合是解決這個問題的關鍵思路。

從解題步驟上看感覺很簡潔，但其難度比上一題略有下降，但實則也不容易。

正在兩個人讨論之際，高一年級清北班的數學老師抱着Hello kitty保溫杯走過來看熱鬧，“這個題太簡單了吧，沒啥區分度啊，正好我剛才看見了一道題目，你們看看怎麼樣？”

這道題相較于上一題，難度更上一層樓。

雖然核心的考察點不變，但真的可謂是面目全非了。

學生首先需要根據已知的不等式構造出一個新的函數，并确定這個函數的單調性，根據函數單調性再結合分段函數圖像——一元二次和絕對值函數，進行分類讨論，構造出關于b的不等式，求解。

構造是一關，分類讨論又是一大關。

極其考察學生的洞察力以及對于分段函數的認識。

這種題目不是那種機械疊加難度，而是考察學生的觀察、思維能力。

也就重點高中重點班中等難度吧。

神仙打架啊啊啊啊啊，年輕教師内心裡高喊：打起來打起來！

早就聽說兩位大佬不太對付，這次直接Battle了！

之間備課組長微微一笑，頭頂一抹亮光倏然一閃，似乎帶着殺意，“你說的對，我也正覺得有些簡單了，要不這樣吧，你看這個題咋樣，估計你們班的那些崽子們會喜歡的！”

這這這，不講武德啊！

這明明是道綜合題，先利用奇偶性求出兩個函數的解析式，然後還需要利用倒數關系進一步構造，最後還要用對勾函數和恒成立問題，才能求出a的範圍。

被組長硬生生加了個底數挂上了單調性的邊，每一塊都不簡單，就這麼糅合在一起......

這就是暴力美學啊啊，年輕老師在心裡呐喊道。

看着Kitty老師不太好的神色，他趕緊拿起組長改過的卷子，送到文印室排版印刷去了。

就這樣，這次的月考就出現了一道讓學生們無比怨念的題目。

“誰這麼變态啊！”

考試結束，走廊裡一片哀嚎，隻有備課組長往自己的灌籃高手主題茶杯裡加了幾粒枸杞，慢條斯理的走進自己的班級。

“同學們啊，你們這次考試讓我很失望，真的是我教的這幾屆裡最差的一屆了。

就這道題，你們告訴我有什麼難度？

有什麼難度嘛？

哪個知識點咱們沒有講過，哪個思路咱們沒有分析過，無非就是綜合在一起了嘛，怎麼就做的這麼差勁呢？

這說明什麼？

說明大家還沒有拆分題目的能力，遇到看上去複雜的題目就慌神，你冷靜一點怕什麼？”

“就第一個條件就有兩種處理手法，我們沒有講過？

你們翻開教輔第**面，你們自己看，是不是一模一樣？

這種技巧咱們當初反複強調過，怎麼換一個位置就不會了呢？

總是強調做題不能隻埋頭做，要記憶、要總結，有些同學要反思，到底當初做題的時候用心了沒有？

不管這道題你會不會做，解答題，你第一步總要給我搞定吧！

總得把f(x)和g(x)給我求出來吧，總得利用單調性把底數給我去掉吧，總得把f(x)和g(x)解析式給我代入不等式吧？

這麼明顯的切入點你們找不到，要不要我給你們每個人都發一個燈籠考試帶着啊？

這些常規的步驟分你們都拿不到，你們對得起我嘛？

你們不怕出教室被老天爺劈了嘛？

天理不容啊簡直！”

“不等式全都變出來了，你們自己觀察觀察結構，這種結構多典型？

你們怎麼就想不到構造完全平方和立方差呢？

這種互為倒數的形式，出題老師是看它們順眼才這樣出的嘛？

他閑的沒事了？

這種結構，不這樣用你們說咋用？咋用？嗯？

說了多少遍了，特定結構特定處理方法，你們怎麼就不留意呢？

隻要構造出來，那不就是送分的？

後面恒成立和對勾函數不就是送的？

最可氣的是某某同學，你前面都搞定了，你不知道換元時需要前後範圍一緻？

還有某某某同學，那都是個正值了，你分參啊！

恒成立你不分參？

你們是要急死我嘛？”

“這道題充分體現出來相當一部分同學缺乏做大題的能力，知識掌握不夠全面，對于一些常規處理方式掌握不好，對于特殊的結構不夠敏感，綜合能力不夠，思路不明确，做題随波逐流，沒有攻堅意識，細節掌握不到位，知識有死角......

你們要好好反思！

下課！"

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