#頭條創作挑戰賽#

分形已經為人所知一個世紀，研究得很好，在生活中有許多應用。然而，這種現象的核心是一個非常簡單的想法：隻需借助兩個操作 - 複制和縮放 - 就可以從相對簡單的結構中獲得無限的美感和多樣性的圖形集。

一棵樹、一條海岸、一朵雲或血管在我們手中有什麼共同點？乍一看，似乎沒有任何東西将所有這些物體聯合起來。然而，事實上，所有這些對象都有一個固有的結構屬性：它們是自相似的。從樹枝，以及從樹幹，較小的過程離開，從它們 - 甚至更小，等等，也就是說，樹枝就像整棵樹一樣。在這一點上，它們類似于最美麗的數學對象之一——分形。

以類似的方式，循環系統被安排：小動脈離開動脈，并且從它們 - 氧氣進入器官和組織的最小毛細血管。讓我們看看海岸的衛星圖像：我們将看到海灣和半島;讓我們看看它，但從鳥瞰圖：我們将看到海灣和海角;現在想象一下，我們站在沙灘上，看着我們的腳：總會有鵝卵石比其他鵝卵石更進水。也就是說，規模越來越大的海岸線仍然與自身相似。物體的這種性質被美國人（盡管他在法國長大）數學家Benoit Mandelbrot稱為分形，這種物體本身被稱為分形（來自拉丁語分形 - 破碎）。

如果你看很多分形，你可以看到它們有很多不同之處。這些差異不僅在構成分形的圖形的形狀上觀察到，而且在這些集合的表示形式上也觀察到。因此，幾何、代數和随機分形是有區别的。讓我們更詳細地讨論它們中的每一個。

這是我們最熟悉的分形類型。它們基于任何幾何圖形構建，通過分割其部分并對其進行轉換。示例包括 L 系統。它們最初設計用于模拟生物細胞系統，但也可以應用于其他分支系統。

畢達哥拉斯樹是幾何分形最簡單的例子之一

代數分形是在數學公式的基礎上構建的 - 如果在坐标平面上構建圖形，它們可以轉換為幾何公式。代數分形包括曼德布洛特分形，朱莉娅和牛頓盆地。它們都建立在一組複數上，複數由實數和虛部組成。隻是曼德布洛特和茱莉亞的分形是建立在複數平方的基礎上的，而牛頓盆地是建立在立方體的基礎上的。

這就是牛頓池的樣子——分形建立在許多複數立方體上

這種分形是在數學公式的基礎上構建的，但在構造過程中，其中的參數是随機變化的。這導緻奇異形式的出現，與自然形式非常相似。與幾何和一些代數不同，随機分形隻能使用計算機構造。

随機分形的插圖。如您所見，它們可能是不對稱的，非常奇怪。

在十九世紀和二十世紀之交，對分形的研究更多的是偶發性的，而不是系統的，因為早期的數學家主要研究可以使用一般方法和理論研究的“好”物體。1872年，德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）建立了一個連續函數的例子，這個函數在任何地方都是可微的。然而，它的構造完全是抽象的，難以理解。因此，在1904年，瑞典人Helge von Koch提出了一條在任何地方都沒有切線的連續曲線，并且很容易繪制。事實證明，它具有分形的性質。這條曲線的一個變體被稱為“科赫雪花”。

什麼是分形？

這個概念沒有嚴格的定義。因此，“分形”這個詞不是一個數學術語。通常，分形是滿足以下一個或多個屬性的幾何圖形： • 在任何縮放時都具有複雜的結構（例如，與直線不同，其任何部分都是最簡單的幾何圖形 - 線段）。• （大約）自相似。• 具有大于拓撲維數的分數豪斯多夫（分形）維數。• 可以通過遞歸過程構建。

人物自相似性的想法被法國人保羅·皮埃爾·利維（Paul Pierre Levy）所接受，他是貝努瓦·曼德布洛特的未來導師。1938年，他的文章“平面和空間曲線以及由整體狀部分組成的表面”發表，其中描述了另一個分形，Levy C曲線。上述所有這些分形都可以有條件地歸因于一類建設性（幾何）分形。

許多自然物體，如植物莖，也是具有有限數量的重複元素的分形。

另一類是動态（代數）分形，曼德布洛特集合屬于它。這方面的第一次研究始于二十世紀初，與法國數學家加斯頓·朱莉娅和皮埃爾·法圖的名字有關。1918年，茱莉亞出版了近兩百頁的關于複雜有理函數叠代的回憶錄，描述了茱莉亞集合，這是一個與曼德布洛特集合密切相關的整個分形家族。這幅作品獲得了法蘭西學院的獎項，但它不包含一幅插圖，因此無法欣賞所發現物品的美麗。盡管這項工作使茱莉亞在當時的數學家中聲名鵲起，但它很快就被遺忘了。半個世紀後，随着計算機的出現，人們的注意力再次轉向了它：正是它們使分形世界的豐富性和美麗可見。

分形維數

如您所知，幾何圖形的尺寸（尺寸數）是确定位于此圖上的點的位置所需的坐标數。例如，曲線上點的位置由一個坐标确定，在曲面（不一定是平面）上由兩個坐标确定，在三維空間中由三個坐标确定。

從更一般的數學角度來看，可以通過以下方式确定維度：線性維度的增加，例如，兩次，對于一維（從拓撲角度來看）對象（段）導緻大小（長度）增加兩倍，對于二維（正方形）相同的線性維度增加導緻大小（面積）增加4倍，對于三維（立方體）增加8倍。也就是說，“實”（所謂的豪斯多夫）維數可以計算為物體“大小”增加的對數與其線性大小增加的對數之比。也就是說，對于段 D=log（2）/log（2）=1，對于平面 D=log（4）/log（2）=2，對于卷 D=log（8）/log（2）=3。

現在讓我們計算科赫曲線的維數，對于該曲線的構造，單個段被分成三個相等的部分，并被一個沒有該段的等邊三角形所取代。當最小段的線性尺寸三倍時，科赫曲線的長度在對數（4）/對數（3）~1.26中增加。也就是說，科赫曲線的維度是分數！

1982年，曼德布洛特的著作《自然分形幾何》出版，作者在書中收集并系統化了當時幾乎所有關于分形的信息，并以一種簡單易懂的方式呈現出來。曼德布洛特在他的演講中主要強調的不是重公式和數學結構，而是讀者的幾何直覺。由于在計算機的幫助下獲得的插圖和曆史故事，作者巧妙地稀釋了專著的科學成分，這本書成為暢銷書，分形為公衆所知。他們在非數學家中的成功很大程度上是由于這樣一個事實，即在高中生能夠理解的非常簡單的結構和公式的幫助下，可以獲得驚人的複雜性和美感的圖像。當個人電腦變得相當強大時，藝術甚至有一個完整的方向 - 分形繪畫，幾乎任何電腦所有者都可以做到這一點。現在在互聯網上，您可以輕松找到許多專門讨論此主題的網站。

構造科赫分形所需的操作序列

如上所述，具有分形性質的自然對象之一是海岸線。有了這個，或者更确切地說，試圖測量它的長度，有一個有趣的故事構成了曼德布洛特科學文章的基礎，并且在他的書“自然的分形幾何”中也有描述。

我們正在談論劉易斯·理查森（Lewis Richardson）進行的一項實驗，他是一位非常有才華和古怪的數學家，物理學家和氣象學家。他的研究方向之一是試圖找到兩國之間武裝沖突的原因和可能性的數學描述。看起來，分形與此有什麼關系？

但科學家考慮的參數之一是兩個交戰國共同邊界的長度。當他收集數值實驗數據時，他發現在不同的來源中，西班牙和葡萄牙共同邊界的數據非常不同。這促使他做出以下發現：該國邊界的長度取決于我們用來測量它們的統治者。規模越小，獲得的邊界越長，這是因為随着更大的增加，有可能考慮越來越多的銀行的新彎曲，這些彎曲以前由于測量的粗糙而被忽略。而且，如果每次縮放時，以前無法解釋的線條彎曲被打開，那麼事實證明邊界的長度是無限的！就像數學分形一樣。然而，這實際上并沒有發生 - 我們測量的準确性有一個有限的限制。這個悖論被稱為理查森效應。

幾何分形的示例說明了如何将多個重複元素同時組合到一個對象中

構造構造構造分形的算法通常如下。首先，我們需要兩個合适的幾何形狀，我們稱它們為基礎和碎片。在第一階段，描繪了未來分形的基礎。然後用适當比例的片段替換其某些部件 - 這是構造的第一次叠代。然後，在得到的圖中，一些部分再次被更改為類似于片段的形狀，等等，如果你無限期地繼續這個過程，那麼在極限中你将得到一個分形。

以科赫曲線為例考慮這一過程。任何曲線都可以作為科赫曲線的基礎（對于“科赫雪花”，它是一個三角形）。但是我們将把自己限制在最簡單的情況，即細分市場。碎片已損壞，描繪在圖片的頂部。在算法的第一次叠代之後，在這種情況下，原始片段将與片段重合，然後其每個組成片段本身将被一個破碎的片段狀片段所取代，依此類推，該圖顯示了此過程的前四個步驟。

分形甚至可以在植物中找到。例如，它是羅曼尼斯科屬卷心菜的果實

這種類型的分形出現在非線性動力系統的研究中（因此得名）。這種系統的行為可以用複雜的非線性函數（多項式）f（z）來描述。讓我們在複平面上取一些起點 z0（參見側邊欄）。現在考慮複平面上這樣一個無限的數字序列，每個數字序列都是從前一個序列獲得的：z0， z1 = f （z0）， z2 = f （z1）， ...鋅 1=f （鋅）.根據起始點z0，這樣的序列可以表現不同：在n -> ∞處趨向于無窮大;收斂到某個端點;周期性地取一系列固定值;更複雜的選項是可能的。

複數

複數是由實數和虛數兩部分組成的數，即 x iy 的形式和（這裡的 x 和 y 是實數）。i是所謂的虛數單位，即滿足方程 i^2 = -1 的數字。在複數上，定義了主要的數學運算 - 加法，乘法，除法，減法（僅未定義比較運算）。為了顯示複數，通常使用幾何表示 - 在平面上（稱為複數），實際部分沿橫坐标軸沉積，虛部沿縱坐标沉積，而具有笛卡爾x和y坐标的點将對應于複數。

因此，複平面的任何點 z 在函數 f （z） 的叠代中都有自己的行為模式，并且整個平面被劃分為多個部分。同時，位于這些部分邊界上的點具有以下性質：在任意小的位移下，它們的行為性質會發生巨大變化（這些點稱為分岔點）。因此，事實證明，具有一種特定行為類型的點集以及分岔點集通常具有分形屬性。這些是函數 f（z） 的朱莉娅集。

龍族

通過改變基數和片段，您可以獲得各種建設性分形。

此外，類似的操作可以在三維空間中執行。體積分形的例子是“門格爾海綿”，“謝爾平斯基金字塔”等。

建設性分形包括龍家族。有時，它們被發現者稱為“嘿嘿哈特龍”（在它們的形式上它們類似于中國龍）。有幾種方法可以構造此曲線。其中最簡單和最直觀的是：您需要取一條足夠長的紙條（紙張越薄越好），然後将其彎曲成兩半。然後再次将其彎曲到一半，方向與第一次相同。經過幾次重複（通常在五到六次折疊後，條帶變得太厚而無法輕輕地進一步彎曲），您需要将條帶拉直，并嘗試在褶皺處形成90°的角度。然後在配置文件中，您将獲得龍曲線。當然，這隻是一個近似值，就像我們所有描繪分形物體的嘗試一樣。計算機允許您描繪此過程的更多步驟，結果是一個非常美麗的圖形。

曼德布洛特集合的構造略有不同。考慮函數 fc （z） = z^2 c，其中 c 是一個複數。讓我們用z0= 0構建這個函數的序列，這取決于它的參數可以發散到無窮大或保持有限。在這種情況下，此序列受限制的所有值 c 都形成曼德布洛特集合。曼德布洛特本人和其他數學家詳細研究了它，他們發現了這個集合的許多有趣的性質。

可以看出，茱莉亞和曼德布洛特集合的定義是相似的。事實上，這兩套是密切相關的。也就是說，曼德布洛特集合是一個複雜參數 c 的所有值，Julia 集合 fc （z） 連接到該參數 c（如果該集合不能被分成兩個不相交的部分，則稱為連接，但有一些附加條件）。

如今，分形理論被廣泛應用于人類活動的各個領域。除了用于研究的純科學對象和已經提到的分形繪畫之外，分形在信息理論中還用于壓縮圖形數據（這裡主要使用分形的自相似性的屬性 - 畢竟，記住繪圖和變換的一小片段，您可以使用它獲得其餘部分，比存儲整個文件所需的内存要少得多）。通過在指定分形的公式中添加随機擾動，可以獲得随機分形，這些分形非常合理地傳達了一些真實對象 - 浮雕元素，水體表面，一些植物，這些對象成功地用于物理，地理和計算機圖形學，以實現模拟對象與真實對象的更大相似性。在無線電電子學中，生産的天線具有分形形狀。它們占用空間很小，可提供相當高質量的信号接收。經濟學家使用分形來描述貨币波動曲線（這個屬性是由曼德布洛特發現的）。有了這個，我們将完成這個小短途旅行，進入分形世界的驚人美麗和多樣性。

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