1.有理數:
(1)凡能寫成q/p(p、q為整數,p不為0)形式的數,都是有理數,整數和分數統稱有理數.
注意:0即不是正數,也不是負數;-a不一定是負數, a也不一定是正數;p不是有理數;
(2)有理數的分類:
(3)注意:有理數中,1、0、-1是三個特殊的數,它們有自己的特性;這三個數把數軸上的數分成四個區域,這四個區域的數也有自己的特性;
(4)自然數: 0和正整數; a>0 a是正數; a<0 a是負數;
a≥0 a是正數或0 a是非負數; a≤ 0 a是負數或0 a是非正數.
2.數軸:數軸是規定了原點、正方向、單位長度(數軸的三要素)的一條直線.
3.相反數:(1)隻有符号不同的兩個數,我們說其中一個是另一個的相反數;0的相反數還是0; (2)注意: a-b c的相反數是-(a-b c)= -a b-c;a-b的相反數是b-a;a b的相反數是-a-b;
(3)相反數的和為0 Û a b=0 Û a、b互為相反數.
(4)相反數的商為-1.
(5)相反數的絕對值相等.
4.絕對值:
(1)正數的絕對值等于它本身,0的絕對值是0,負數的絕對值等于它的相反數;
注意:絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離;
(2) |a|是重要的非負數,即|a|≥0,非負性;
5.有理數比大小:
(1)正數永遠比0大,負數永遠比0小;
(2)正數大于一切負數;
(3)兩個負數比較,絕對值大的反而小;
(4)數軸上的兩個數,右邊的數總比左邊的數大;
(5)-1,-2, 1, 4,-0.5,以上數據表示與标準質量的差,絕對值越小,越接近标準。
6.倒數:乘積為1的兩個數互為倒數;
注意:0沒有倒數; 若ab=1 a、b互為倒數; 若ab=-1 a、b互為負倒數.
等于本身的數彙總:
相反數等于本身的數:0
倒數等于本身的數:1,-1
絕對值等于本身的數:正數和0
平方等于本身的數:0,1
立方等于本身的數:0,1,-1.
7. 有理數加法法則:
(1)同号兩數相加,取相同的符号,并把絕對值相加;
(2)異号兩數相加,取絕對值較大加數的符号,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;
(3)一個數與0相加,仍得這個數.
8.有理數加法的運算律:
(1)加法的交換律:a b=b a ;(2)加法的結合律:(a b) c=a (b c).
9.有理數減法法則:減去一個數,等于加上這個數的相反數;即a-b=a (-b).
10 有理數乘法法則:(1)兩數相乘,同号得正,異号得負,并把絕對值相乘;
(2)任何數與零相乘都得零;
(3)幾個因式都不為零,積的符号由負因式的個數決定.奇數個負數為負,偶數個負數為正。
11 有理數乘法的運算律:
(1)乘法的交換律:ab=ba;(2)乘法的結合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:a(b c)=ab ac .(簡便運算)
12.有理數除法法則:除以一個數等于乘以這個數的倒數;注意:零不能做除數,a/0無意思。
13.有理數乘方的法則:(1)正數的任何次幂都是正數;
(2)負數的奇次幂是負數;負數的偶次幂是正數;
14.乘方的定義:(1)求相同因式積的運算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底數,相同因式的個數叫做指數,乘方的結果叫做幂;
(3)a2是重要的非負數,即a2≥0;若a2 |b|=0 Û a=0,b=0;
(4)正數的任何次幂都是正數,0的任何次幂都是0;負數的奇次幂是負數,負數的偶次幂是正數。
15.科學記數法:把一個大于10的數記成a×10n的形式,其中a是整數數位隻有一位的數即1≤a<10,這種記數法叫科學記數法.10的指數=整數位數-1, 整數位數=10的指數 1
16.近似數的精确位:一個近似數,四舍五入到哪一位,就說這個近似數精确到那一位.
17.混合運算法則:先乘方,後乘除,最後加減; 注意:不省過程,不跳步驟。
18.特殊值法:是用符合題目要求的數代入,并驗證題設成立而進行猜想的一種方法,但不能用于證明.常用于填空,選擇。
1.單項式:表示數字或字母乘積的式子,單獨的一個數字或字母也叫單項式。
2.單項式的系數與次數:單項式中的數字因數,稱單項式的系數(要包括前面的符号);
單項式中所有字母指數的和,叫單項式的次數(隻與字母有關)。
3.多項式:幾個單項式的和叫多項式。
4.多項式的項數與次數:多項式中所含單項式的個數就是多項式的項數,每個單項式叫多項式的項;多項式裡,次數最高項的次數叫多項式的次數;
5.整式包括了單項式和多項式(整式是代數式,但是代數式不一定是整式)。
6.同類項:所含字母相同,并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項(與系數無關,與字母的排列順序無關)。
7.合并同類項法則:系數相加,字母與字母的指數不變.
8.去(添)括号法則:去(添)括号時,若括号前邊是“ ”号,括号裡的各項都不變号; 若括号前邊是“-”号,括号裡的各項都要變号.
9.整式的加減:一找:(标記);二“ ”(務必用 号開始合并)三合:(合并)
10.多項式的升幂和降幂排列:把一個多項式的各項按某個字母的指數從小到大(或從大到小)排列起來,叫做按這個字母的升幂排列(或降幂排列)。
1.等式:用“=”号連接而成的式子叫等式.
2.等式的性質:
等式性質1:等式兩邊都加上(或減去)同一個數(或式子),結果仍相等;
等式性質2:等式兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數,結果仍相等.
3.方程:含未知數的等式,叫方程(方程是含有未知數的等式,但等式不一定是方程).
4.方程的解:使等式左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”。
5.移項:把等式一邊的某項變号後移到另一邊叫移項.移項的依據是等式性質1(移項變号).
6.一元一次方程:隻含有一個未知數,并且未知數的次數是1,并且含未知數項的系數不是零的整式方程是一元一次方程.
7.一元一次方程的标準形式: ax b=0(x是未知數,a、b是已知數,且a≠0).
8.一元一次方程解法的一般步驟:
化簡方程----------分數基本性質
去 分 母----------同乘(不漏乘)最簡公分母
去 括 号----------注意符号變化
移 項----------變号(留下靠前)
合并同類項--------合并後符号
系數化為1---------除前面
10.列一元一次方程解應用題:
(1)讀題分析法:………… 多用于“和,差,倍,分問題”
仔細讀題,找出表示相等關系的關鍵字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,為,完成,增加,減少,配套-----”,利用這些關鍵字列出文字等式,并且據題意設出未知數,最後利用題目中的量與量的關系填入代數式,得到方程.
(2)畫圖分析法: ………… 多用于“行程問題”
利用圖形分析數學問題是數形結合思想在數學中的體現,仔細讀題,依照題意畫出有關圖形,使圖形各部分具有特定的含義,通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵,從而取得布列方程的依據,最後利用量與量之間的關系(可把未知數看做已知量),填入有關的代數式是獲得方程的基礎.
11.列方程解應用題的常用公式:
(1)行程問題: 路程=速度/時間 ;時間=路程/速度
(2)工程問題:工作量=工作效率/工作時間 ;工時=工作量/工作效率
工程問題常用等量關系: 先做的 後做的=完成量
(3)順水逆水問題:
順流速度=靜水速度 水流速度,逆流速度=靜水速度-水流速度;
順水逆水問題常用等量關系: 順水路程=逆水路程
(4)商品利潤問題: 售價=定價×幾折/10;利潤問題常用等量關系:售價-進價=利潤
(5)配套問題
(6)分配問題
(一)多姿多彩的圖形
立體圖形:棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.
1、幾何圖形
平面圖形:三角形、四邊形、圓、多邊形等.
主視圖---------從正面看
2、幾何體的三視圖 左視圖---------從左邊看
俯視圖---------從上面看
(1)會判斷簡單物體(棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖.
(2)能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型.
3、立體圖形的平面展開圖
(1)同一個立體圖形按不同的方式展開,得到的平現圖形不一樣的.
(2)了解直棱柱、圓柱、圓錐、的平面展開圖,能根據展開圖判斷和制作立體模型.
4、點、線、面、體
(1)幾何圖形的組成
點:線和線相交的地方是點,它是幾何圖形最基本的圖形.
線:面和面相交的地方是線,分為直線和曲線.
面:包圍着體的是面,分為平面和曲面.
體:幾何體也簡稱體.
(2)點動成線,線動成面,面動成體.
(二)直線、射線、線段
1、基本概念
名稱 |
直線 |
射線 |
線段 |
圖形 | |||
端點個數 |
無 |
一個 |
兩個 |
表示法 |
直線a 直線AB(BA) |
射線a 射線AB |
線段a 線段AB(BA) |
作法叙述 |
作直線a 作直線AB; |
作射線a 作射線AB |
作線段a; 作線段AB; 連接AB |
延長 |
向兩端無限延長 |
向一端無限延長 |
不可延長 |
2、直線的性質
經過兩點有一條直線,并且隻有一條直線.簡單地:兩點确定一條直線.
3、畫一條線段等于已知線段
(1)度量法
(2)用尺規作圖法
4、線段的長短比較方法
(1)度量法
(2)疊合法
(3)圓規截取法
5、線段的中點(二等分點)、三等分點、四等分點等
定義:把一條線段平均分成兩條相等線段的點.
圖形:
A M B
符号:若點M是線段AB的中點,則AM=BM=AB,AB=2AM=2BM.
6、線段的性質
兩點的所有連線中,線段最短.簡單地:兩點之間,線段最短.
7、兩點的距離
連接兩點的線段的長度叫做兩點的距離(距離是線段的長度,而不是線段本身).
8、點與直線的位置關系
(1)點在直線上(或者直線經過點) (2)點在直線外(或者直線不經過點).
(三)角
1、角:有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角.
2、角的表示法(四種):
表示方法 | 圖例 |
記法 |
适用範圍 |
用三個大寫字母表示 |
ÐAOB或ÐBOA |
任何情況下都适應。表示端點的字母必須寫在中間。 | |
用一個大寫字母表示 |
ÐA |
以這個點為頂點的角隻有一個。 | |
用數字表示 |
Ð1 |
任何情況下都适用。但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的範圍,并注上數字或希臘字母。 | |
用希臘字母表示 |
Ða |
3、角的分類
∠β |
銳角 |
直角 |
鈍角 |
平角 |
周角 |
範圍 |
0<∠β<90° |
∠β=90° |
90°<∠β<180° |
∠β=180° |
∠β=360° |
4、角的比較方法
(1)度量法
(2)疊合法
5、角的四則運算
角的和、差、倍、分及其近似值
6、畫一個角等于已知角
(1)借助三角尺能畫出15°的倍數的角,在0~180°之間共能畫出11個角.
(2)借助量角器能畫出給定度數的角.
(3)用尺規作圖法.
7、角的平分線
定義:從一個角的頂點出發,把這個角分成相等的兩個角的射線叫做角的平分線(若OB是ÐAOC的平分線,則ÐAOB=ÐBOC=1/2ÐAOC, ÐAOC=2ÐAOB =2ÐBOC).
9、互餘、互補
(1)若∠1 ∠2=90°,則∠1與∠2互為餘角.其中∠1是∠2的餘角,∠2是∠1的餘角.
(2)若∠1 ∠2=180°,則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角,∠2是∠1的補角.
(3)∠1的餘角可以用90°-∠1表示;∠1的補角可以用180°-∠1表示.
(4)餘角的性質:同角(等角)的餘角相等;
補角的性質:同角(等角)的補角相等
10、方向角
(1)正方向
(2)南或北寫在前面,東或西寫在後面
(北偏東、北偏西、南偏東、南偏西)
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