這是2022年北京中考數學的一道真題，這道題并不太難，但應用的知識點還是蠻多的，包括平形四邊形的判定定理及性質、平行與垂直的關系、等腰三角形的判定或垂直平分線的性質、勾股定理的逆定理、直角三角形的斜邊中線定理等。而且解這道題還要清晰的思路，要懂得運用第一小題的提示，去解決第二小題。
在△ABC中，∠ACB=90⁰，D為△ABC内一點，連接BD, DC，延長DC到點E，使得CE=DC. (1)如圖1，延長BC到點F，使得CF=BC，連接AF,EF，若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；
(2)連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2，若AB^2=AE^2 BD^2, 用等式表示線段CD與CH的數量關系，并證明.
分析：(1)第一小題隻需要運用平行四邊形的“對角線互相平分”的判定定理，結合平行線和垂線的關系就可以解決。
(2)第二小題的關鍵是，除了按題目要求，補全圖2之外，還要按(1)的要求作圖。這樣就可以利用平行四邊形的對邊相等的性質，以及等腰三角形“三線合一”的判定定理，把三邊的平方關系轉移到一個三角形中，運用勾股定理判定直角三角形。最後還是運用平行線和垂線的關系，以及直角三角形的斜邊中線定理來證明結論。
下面組織解題過程：
證明： (1)連接BE, DF,
∵CE=DC，CF=BC,∴四邊形BDFE是平行四邊形，【對角線互相平分的四邊形是平行四邊形】
∴BD//EF, 又AF⊥EF，∴BD⊥AF. 【如果一條直線垂直于平行線中的一條直線，就同時垂直于平行線中的另一條直線】
解：(2)如圖，CD=CH，理由如下：
延長BC至F，使CF=BC，連接EF, AF.
由(1)可知BD//EF, 且BD=EF，【平行四邊形對邊平行且相等的性質】
又AB=AF，且AB^2=AE^2 BD^2，【AC垂直平分BF，用垂直平分線的性質也可以推出AB=AF，或者應用等腰三角形“三線合一”的判定定理】
∴AF^2=AE^2 EF^2，∴EF⊥AE，【用勾股定理判定直角三角形AEF】
∴BD⊥AE，【和第(1)小題最後一步是同一個定理的應用】
在Rt△DHE中，CE=DC，【即CH是斜邊DE的中線】
∴CD=CH.【直角三角形斜邊中線是斜邊的一半】
題目真不難，但想要快速簡潔地完成，也不容易，你說呢？
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