在電子通信領域，會用到很多二進制和“模2”運算。什麼是“模”？與“進制”有什麼不同？為什麼需要使用模運算？

1、什麼是進制？

“進制”就是數數（數一下有幾本書）和計算時的一種“進位制度”系統。這個系統是人為制定的。

我們日常生活中使用的是“十進制”，電子通信領域大量使用“二進制”。

一種“進制”需要有一些規則，這些規則綜合構成“進位制度”系統：

①　從0遞增，每次遞增都按照加1計算；（這是四則運算的前提）

②　可以遞增到無限大；

③　遞增過程中，數字的位數随着“進制”增加；（構成一個數字的位，叫做權）

④　數字隻有一位的時候，這些數字被稱作“進制”的基數；

⑤　每種進制都有自己獨有的“按進制”計算規則，也就是“進位”規則。

這5條規則是構成一種計數系統的前提。通常，最引人關注的規則就是“進位”規則。其他規則較少被注意到。但是，實際上，這5條規則中的任何一種規則被改變，都能産生一種新的計數系統。

如果僅有“進位”規則發生變化，其他規則不變，就會産生很多種“進制”，比如二進制、3進制、7進制甚至371進制。一般用到的是二進制。

可以認為：所有的其他“進制”都是十進制演變出來的，計數習慣和運算習慣都沿用十進制。

常見的十進制和二進制計算

上圖的計算方法衆所周知。但是如果跟“模運算”相比較的話，會發現很大不同。

2、什麼是“模”？“模”和“進制”有什麼不同？

如果說十進制是一個計數世界的話，二進制是另一個規則類似的子計數世界。構成兩者的5條規則中，隻有具體的基數和逢基進位是不同的，其他都相同。如果将第②條規則“可以遞增到無限大”，改變成“僅可以遞增到某個有限大的值”就産生了另一種計數世界，這就是“模”。

“模”，是一個比較“令人感到陌生”的名詞，但是在生活中卻很早就普遍使用了。如鐘表的表盤。時間的長度是無限的，如果想把無限的時間長度數值放進表盤有限的刻度上，有一個簡單的辦法，就是讓表示時間長度的數值不停地歸0。

這個表盤數字世界就是“模12”。數字從0開始加1遞增，遞增到12，不進位而是歸零。這與進制的處理方法截然相反。也是“模”與“進制”的最突出的區别。

從0到11的數字是十進制數字，可以稱為“模元”，而數字12可以稱為“模值”。（如果有相關的著作對這些名詞有更加合适的稱謂，請自行轉換。）

模元可以是十進制數字，也可以是二進制或者其他進制數字。

模元之間的遞增方式也可以不是按照加1遞增。如果是這樣的話，按模運算會與常規的運算不同。

至此，關于“模”的概念應該有一個大緻的總結：

①　“模”是一種數學計數系統，或者說一種計數模型；

②　模值可以按照自己的需要自由指定；

③　模元可以是任何進制數字，遞增方式可以不是加1遞增；

④　模内，數字遞增到模值，不會進位，而是歸零，重新遞增。

用語言來描述的話，“模”就是一個封閉的圓形計數系統。

模與進制的區别是：

模，滿則歸零；

進制，滿則溢出。

如何把任何一個數字放進已經定義好的模中呢？

把十進制數字215放在模12内：

就說215在模12内等于11。這個方法可以是定義模的辦法。但是這樣建立的模有兩個前提條件：從0開始計數，每次按照加1遞增。

如果模元不是從0開始，模元不按照遞增排序，或者按照加某個數值遞增，除模取餘方法可能需要做一些改變。這種情況出現在某些編碼中。

3、模運算原理

先看模12運算。

在模12中，

5 4=9；

5-8=9。

可以說，4和8是互補的。這也是二進制中“補數”的含義。

7乘以8，可以理解為從0點開始，指針順時針走8次，每次走7格，最後指針指向數字8點。所以模12的7×8=8。

按模除法一般用于把任意數字放入定義好的模中，實際的用途類似于鐘表的用途。

最簡單的是“模2”。用一個表盤來描述模運算。

模2加：

0 1=1；指針從0點順時針走1格，指向1點。

1 0=1；指針從1點順時針走0格，指向1點。

0 0=0；

1 1=0；指針從1點順時針走1格，指向0點。

由此定義了一種邏輯運算：異或。異或的運算符号為

，比較形象，意味着在一個圓圈内進行的加法運算。

模2加法的特點可以描述為：

不同得1，相同得0。在編碼中大量應用。

模2減：

0-1=1；指針從0點逆時針走1格，指向1點。

1-0=1；指針從1點逆時針走0格，指向1點。

0-0=0；

1-1=0；指針從1點逆時針走1格，指向0點。

可以看出，模2減和模2加，結果完全一樣。所以在計算模運算的除法時，常常用加法直接代替減法。編碼中我們隻能看到模2加，看不到模2減，就是這個原因。

模2乘：

0×0=0；指針從0點順時針走0次0格，指向0點。

0×1=0；指針從0點順時針走1次0格，指向0點。

1×0=0；指針從0點順時針走0次1格，指向0點。

1×1=1。指針從0點順時針走1次1格，指向1點。

這就是邏輯“與”運算。和十進制的乘法思路一樣。

模2除：

0÷1=0；

1÷1=1。

可以看出，以2為模，其實模元并不是二進制，而是在十進制基礎上定義的一種模。隻不過模2比較特殊。

一種比較特殊的按模除法，在二進制基礎上定義的模。如二進制數字1100100除以1011定義的一種二進制模，模值為1011。應該稱之為“模1011”。如果把1100100放進這個模内，對應的模元就是除法的餘數：

可以看出，二進制的按模計算不同于十進制的按模計算。二進制的按模計算過程中，對每一位使用“模2運算”。那麼為什麼要使用“模2運算”呢？

前面說了，模是一種為了實現某種目的人為定義的計數系統，按模計算方法也是人為定義的。在編碼的過程中，可以不使用模2加法進行按模計算，但是如果統一使用模2加法能夠讓按模運算具有某些特殊性質，還能夠大幅度降低硬件或軟件的難度，為什麼不用呢？

偉大的科學家發現了按模運算的一種特殊性質：

如果一個二進制數字T（x）以xn 1為模，每次T（x）按照乘2遞增，則模xn 1内的模元是一組循環碼組。

xn 1是一種二進制數的多項式表示法。表示二進制數字有n 1位，最高位和最低位都是1，其他位都是0。

這條性質能夠用來建立CRC編碼。如以10001為模值，建立一個模。用10011做被除數進行模運算：

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