摘要
本文主要圍繞為什麼梯度方向是函數最快下降的方向展開，共分為兩部分，分别是基本定義部分和證明部分。
一、基本定義：分别複述了導數、偏導數和方向導數。
二、證明部分：用了兩種證明方式，分别是基于定義證明和基于泰勒展開證明。
1. 概念定義1.1 導數設一元函數f(x)在x0的某個鄰域内有定義，當自變量x在x0處有增量，且增量也在鄰域内，如果當x趨于零，極限存在（增量f和增量x），則稱函數在點x0處可導，并稱此極限為函數在點x0處的導數，記作
導數的幾何意義：曲線上某一點的切線斜率
1.2 偏導數在上面的導數定義中，導數即是函數的變化率，對于多元函數來說，變量有多個，此時當沿某一個自變量方向變化時，此時的變化率即是偏導數。
Note：注意和導數的區别，導數中僅有一個自變量，而偏導數中則會有多個自變量
1.3 方向導數上面無論是導數還是偏導數，其方向均是沿着自變量的方向，如果此時想對任意一個方向求導呢，此時則可用方向導數來表示，
在函數定義域内的點，對某一方向求導得到的導數稱之為方向導數。
下面分别以二元函數和三元函數來表示，
梯度是一個向量，其中向量中的每個元素表示函數對某一個自變量的偏導，具體表示某一函數在某一固定點處沿此方向變化最快，或者說變化率最大（該值為梯度的模）。
（1）首先證明梯度方向為函數變化最快的方向
梯度是一個向量，表示某一函數在某一固定點處沿此方向變化最快，或者說變化率最大（該值為梯度的模）。
首先問題轉化一下，如下所示，
設n元函數f(x1, x2, ..., xn)在空間G内有定義且具有一階連續偏導數，點P(x1,..,xn)屬于G，在點P處沿方向θ移動。
問題: 當θ取什麼方向時，函數在點P下降最快？
證明:
對f(P θ)在點P點處進行一階泰勒展開，有如下，
f(P θ) ≈ f(P) ▽f(P) • θ
對上式轉換後，有如下關系，
f(P) - f(P θ) ≈ -▽f(P) • θ
函數f在點P下降最快，相當于最大化f(P) - f(P θ)，也就是最大化-▽f(P) • θ，也即最小化▽f(P) • θ，後續證明問題和上面一緻。
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