七年級北師大版整數及其加減?中學生課外讀物：《數的産生與發展》4（彭彤彬）（整數的加減法），現在小編就來說說關于七年級北師大版整數及其加減?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

七年級北師大版整數及其加減

中學生課外讀物：《數的産生與發展》4（彭彤彬）（整數的加減法）

2.整數的加法

由于整數包括自然數和負整數，而自然數已有加法定義、加法性質及運算律，現在加進了負整數後，又如何相加？

這裡面涉及負整數與負整數，負整數與自然數如何相加的問題，相加的含義是什麼？

弄清相加含義和方法後，它們仍然滿足自然數中加法性質和運算律嗎？會不會出現哪些不同的？

先看負整數與負整數之間相加的含義：

我手中無錢，先欠你10元，又向你借了10元，問合起來我手中一共有多少錢？

顯然：我手中無錢，并欠你20元。這可用數式記為（-10）＋（-10）＝-20。

由于連續幹旱，農田用水增加，加上人蓄飲用水不停，供水水庫這兩天水位連續下降，昨天降了2米，今天又降了3米，問這兩天水庫水位一共升了多少米？

顯然共降了5米，即上升了-5米。用數式寫為：（-2）＋（-3）＝-5。

一般地，可得a，b是兩個正整數時，（-a） （-b）=-（a＋b）。

這就是說，兩個負整數相加，符号仍為負号，再把它們的相反數相加。

所以兩個負整數之和仍是負整數，且這個負整數比兩個加數均小。如（-2）＋（-3）＝-5中

-2＞-5，-3＞-5。

這就得到了兩個負整數的和的含義及計算方法。

由于先欠你2元，後欠你3元，與先欠你3元，後欠你2元，實際結果都是欠你5元。用式子表示為：

（-2）＋（-3）＝（-3）＋（-2）＝-5。

由于水位先降8米，後降10米，與先降10米，後降8米，都是共降18米。用式子表示為：

（-8）＋（-10）＝（-10）＋（-8）＝-18。

一般地有：可得a，b是兩個正整數時，

∵（-a） （-b）=-（a＋b），（-b） （-a）=-（b＋a）＝-（a＋b），

∴（-a） （-b）＝（-b） （-a）。

即兩個負整數的和滿足交換。

由于我若三次分别借了你5元，8元，13元，不管順序如何，實際上都欠你26元。

用數式表示為：

（（-5） （-8））＋（-13）

＝（-5）＋（（-8） （-13））

＝-26

一般有：a，b，c是兩個正整數時，

∵（（-a） （-b））＋（-c）

＝（-（a＋b））＋（-c）

＝-（a＋b＋c）

（-a） （（-b）＋（-c））

＝（-a）＋（-（b＋c））

＝-（a＋b＋c）

∴（（-a） （-b））＋（-c）

＝（-a） （（-b）＋（-c））

可見，負整數的加法仍然滿足結合律。

還有負整數與自然數的加法呢？

先說負整數與0的加法吧。

第一次我沒找你借錢，第二次我找你借了5元錢時，0＋（-5）＝-5。

第一次我找你借了5元錢，第二次我沒找你錢時，（-5）＋0＝-5。

可見負整數與0的和仍然是這個負整數，且負整數與0的和與順序無關，即仍然滿足交換律。

可讓負整數與0的和也滿足結合律。請自證。

那負整數與正整數的和含義與計算方法又是怎麼樣的呢？

我買了3個面包，吃了2個，還有幾個面包？

答：手中還有3＋（-2）＝＋（3-2）＝1個面包。

我買了2個面包，但吃3個才能吃飽，我要吃飽，應怎麼辦？

答：手中還有2＋（-3）＝-（3-2）＝-1個面包，即還需買一個面包才行。

我買了2個面包，現吃了2個，我手中有幾個面包？

答：手中還有2＋（-2）＝＋（2-2）＝0個面包，即沒有面包。

一般地有：

互為相反數的兩數和為0，即a為正整數時，a＋（-a）＝0。

若負整數的相反數比正整數小，則它們的和為一個正數，隻需要将正整數減去負整數的相反數。如：

（-350） 400

＝＋（400-350）

＝50。

若負整數的相反數比正整數大，則它們的和為一個負數，和值需先寫一個負号，再寫上用負整數的相反數減去正整數得到的差數。如：

（-400） 350

＝-（400-350）

＝-50。

用式子表示為：

設a，b是兩個正整數，則：

當a＝b時，（-a）＋b＝0，

當a＜b時，（-a）＋b＝＋（b-a），

當a＞b時，（-a）＋b＝-（a-b）。

由上面定義知：

a，b是兩個正整數，則：

當a＝b時，b＋（-a）＝0，

當a＜b時，b＋（-a）＝＋（b-a），

當a＞b時，b＋（-a）＝-（a-b）。

比較結論可知：a，b為正整數時，均有

（-a）＋b＝b＋（-a）

所以，正整數與負整數的和滿足交換律。

由實際意義可知正、負整數的和滿足交換律。如：

我前二次借了你50元和30元，第三次你在我手中拿了100元走，問我手中還有你多少錢？

答：（50 30）＋（-100）

＝-20。即你欠我20元。

如果是第一次我借了你50元，第二次你在我手中拿了100元走，第三次我借了你30元，問我手中還有你多少錢？

答：（（50＋（-100））＋30

＝（-50）＋30＝-20。

比較上兩式所得結果發現是一樣的，即：

（50 30）＋（-100）

＝（（50＋（-100））＋30。

可見含三個正、負整數的和，先加這兩個，還是先加另兩個，和不交。這就是加法的結合律。

一般情況，請自行分類讨論去證明。

到此為止，我們就知道了，自然數加了新的負整數，得到整數後，加法的含義是什麼，加法是怎麼做的，并知道了整數的加法仍然滿足加法的交換律和結合律。

為了簡便書寫整數加法含義，我們引進絕對值概念，規定：一個正數與0的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數。并把數a的絕對值記為la丨。

這樣有：a＞0時lal＝a，l0l＝0，a＜0時lal＝-a。

如l304l＝304，l-1l＝1，l-1l＝1，l-3l＝3，l-9l＝9，l-3809l＝3809。

可以看出，整數取絕對值的作用就是去掉負号，把整數轉化為自然數。

由此我們知道lal≥0。

這樣一來，我們就有：

已知整數a，b，

若a≥0，b≥0，a＋b按自然數加法進行。

若a≤0，b≤0，則a＋b＝-（lal＋lbⅠ）。

若a≥0，b≤0，則：

①當laⅠ＞lbⅠ時a＋b＝＋（laⅠ-lbⅠ），

②當laⅠ＜lbⅠ時a＋b＝-（lbⅠ-laⅠ）

③當laⅠ＝lbⅠ時a＋b＝0。

若a≥0，b≥0，a＋b按自然數加法進行。

這就是整數加法的定義及計算方法。可以看出，要分很多情況來讨論，才能得出和值。

由前讨論知：

若a，b，c∈Z，則有：

①a＋b＝b＋a（交換律）。

②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（結合律）。

運算律可以簡化我們的計算。如：56 （-32） （-21） （-44）

＝56＋（-（32＋21＋44））

＝56＋（-97）

＝-（97-56）

＝-41。

或56 （-32） （-21） （-44）

＝（56 （-44）） （（-32） （-21））

＝12＋（-53）

＝-（53-12）

＝-41。

3.整數的減法

由前知：a＋b＝0時，a，b互為相反數。

自然數中減法是加法的逆運算。

所以兩個整數的減法我們給出如下定義：

a-b＝＝a＋（-b）

即a減去b的差就是a與b的相反數的和。

如：5-4=5 （-4）=1，這與自然數減法是相符的。

3-5=3 （-5）

=-（5-3）=-2，

這就是我有3支筆，你要拿走5支，我手中還差2支。

3-（-55）=3 55=58，

這就是我有3個包子，去掉你從我這拿走的55個包子，也就是我有3個包子，你又還了我55個包子，我手中實有58個包子。

（-65）-（-43）

=（-65）＋43

＝-（65-43）

=-22。

這就是我欠你65元錢，去掉你從我欠你的43元，就是我還了你43元，當然實欠你22元了。

也就是說，整數的減法雖多出了自然數與自然相減時不夠減的情況，多出了自然數減負整數的情況，多出了負整數減負整數的情況，但與自然數内部減法一樣，不但統一了作減法的樣式和步驟，也有相同實際意義。

對于整數計算式中去括号的問題，我們舉例說明如下：

∵-22 （（-65）-（-43））

＝-22 （-（65-43））

=-22 （-22）

=-44，

-22 （-65）-（-43）

＝-87 43

=-（87-43）

=-44，

∴-22 （（-65）-（-43））

＝-22 （-65）-（-43）。

即括号前為＋号時，去掉括号後，括号内各數保持不變。

又∵-22-（（-65）-（-43））

＝-22-（-22）

=0，

-22-（-65）＋（-43）

＝-22 65 （-43）

＝43-43

=0，

∴-22-（（-65）-（-43））

＝-22-（-65）＋（-43）。

即括号前為-号時，去掉括号後，括号内各數均應改變符号，＋号變成-号，-号變成＋号。

一般地有：若整數加減式中含有括号，去每層括号時，仍遵循去括号法則：

a，b，c∈Z時，

a＋（b＋c）＝a＋b＋c，

a-（b＋c）＝a-b-c，

a-（b-c）＝a-b＋c，

a-（-b＋c）＝a＋b-c，

a-（-b-c）＝a＋b＋c。

由前面知識我們知道，任兩個整數的差仍為整數，所以整數加法具有封閉班性。即：

a∈Z，b∈Z，則a-b∈Z成立。

這是與自然數減法的最大區别，是自然數引進了負整數後，将減法的不封閉變成了封閉。

可見，引進了負整數後，數的性質變得更完善、完備和完美。

整數減法還具有下列性質：

0-0＝0，

0-a＝0＋（-a）＝-a，

0-（-a）＝0＋a＝a，

a-0=a＋0＝a，

a-a＝0，（-a）-（-a）＝0，

lal＝I-aI，

若Ial＝5，則a＝±5。

…

問題：la＋bI＝？

la-bI＝？

4.整數的乘法（後續）

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