題目：

一、 若4條直線兩兩相交于不同點，則對頂角、同位角、内錯角、同旁内角各有幾對？

二、 若n條直線兩兩相交于不同點，則對頂角、同位角、内錯角、同旁内角各有幾對？

這道題看似不難，真正做起來，還是挺考驗邏輯思維和推導能力的。

花了一上午，整理了一下，不知道能不能給神獸講清楚。

1、 回到起點

若n=1，即隻有1條直線，那麼不存在相交點，也不存在對頂角、同位角、内錯角、同旁内角。

▲圖1

若n=2，即隻有2條直線，那麼存在1個相交點，對頂角有2對，不存在同位角、内錯角、同旁内角。

從這裡可以看出：對頂角先與同位角、内錯角、同旁内角形成，隻要有2條相交直線，形成1個相交點，就形成2對對頂角（簡化一下：2條相交直線=形成1個相交點=對頂角2對）暫存備用。

若n=3，即有3條直線，那麼存在3個相交點，對頂角有6對，同位角12對、内錯角6對、同旁内角6對。

▲圖3

從這裡可以看出：（1）有3條相交直線，同位角、内錯角、同旁内角開始形成；

（2）3條相交直線，形成3個相交點，對應6對對頂角；

（3）任意兩條直線被第三條直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對。

列舉：

藍、綠兩條直線被第三條紅色直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對；

藍、紅兩條直線被第三條綠色直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對；

紅、綠兩條直線被第三條黃色直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對；

所以共形成同位角12對，内錯角6對，同旁内角6對。

（4）以上可以看出：對頂角和（同位角、内錯角、同旁内角）不是一夥的。

對頂角依附于2條相交直接形成，1個相交點對應于2對對頂角。

（同位角、内錯角、同旁内角）依附于3條相交直接形成，且同時形成産生，同旁内角對數=内錯角對數，同位角對數是他們的2倍。可以理解為他們是綁定在一起的。

2、 進入正題

有了以上的鋪墊，再來解題，思路應該已經清晰了。

▲圖4

若n=4，即有4條直線，那麼存在6個相交點，對頂角有12對。

6個相交點的形成過程是：藍、綠、紅三直線相交形成3個相交點，黑線加入後，分别于他們相交，又形成3個相交點，所以共形成6個相交點。

接下來解決（同位角、内錯角、同旁内角）對數：

有兩種思路：

第一種思路：以3條直線為一組，可列舉出：

藍、綠、紅為一組，形成：同位角12對，内錯角6對，同旁内角6對

藍、綠、黑為一組，形成：同位角12對，内錯角6對，同旁内角6對

藍、紅、黑為一組，形成：同位角12對，内錯角6對，同旁内角6對

紅、綠、黑為一組，形成：同位角12對，内錯角6對，同旁内角6對

所以共形成：同位角48對，内錯角24對，同旁内角24對。第一小題完成。

第二種思路：

基于“任意兩條直線被第三條直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對”的基本單元構成。

從4條直線中任意選出2條直線，有6種可能；剩下2條直線，這2條直線就可以作為第三條直線。那麼構成上述基本單位的數量為：6×2=12

所以共形成：同位角4×12=48對，内錯角2×12=24對，同旁内角2×12=24對。第一小題完成。

總結：第一種思路做4條直線還是可以的，比較直觀。第二種思路是為接下來的第二小題做鋪墊的，應掌握第二種思路的解題方法。

3、 再走一步

若n=5，即有5條直線

▲圖5

4條直線，有6個相交點，第5條直線加入後，就有6 4=10個相交點了。形成20對對頂角。

同理：基于“任意兩條直線被第三條直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對”的基本單元構成。

從5條直線中任意選出2條直線，有10種可能；剩下3條直線，這3條直線就可以作為第三條直線。那麼構成上述基本單位的數量為：10×3=30

所以共形成：同位角4×30=120對，内錯角2×30=60對，同旁内角2×30=60對。

再走一步其實是為解第二小題打基礎的。

4、 當n=n

當n=n，即有n條直線兩兩相交于不同點。

首先來看形成多少個相交點：

n=1，0個相交點

n=2，1個相交點

n=3，3個相交點（加入第3條後，多形成2個交點，即1 2=3）

n=4，6個相交點（加入第4條後，多形成3個交點，即1 2 3=6）

n=5，10個相交點（加入第5條後，多形成4個交點，即1 2 3 4=10）

……

n=n，n(n-1)個相交點[加入第n條後，多形成n-1個交點，即1 2 3 4 (n-1)=n(n-1)]

所以形成2×n(n-1)= n(n-1)對對頂角。

再基于“任意兩條直線被第三條直線所截，形成：同位角4對，内錯角2對，同旁内角2對”的基本單元構成。

從n條直線中任意選出2條直線，有n(n-1)種可能；剩下（n-2）條直線，這（n-2）條直線就可以作為第三條直線。那麼構成上述基本單位的數量為：n(n-1)×(n-2)= n(n-1) (n-2)。

這裡“從n條直線中任意選出2條直線，有n(n-1)種可能”是有難度的，屬于超範圍了，要用到排列組合的相關知識。

基本單元數量有了，所以共形成：

同位角4×n(n-1) (n-2)= 2n(n-1) (n-2)對，内錯角2×n(n-1) (n-2)= n(n-1) (n-2)對，同旁内角2×n(n-1) (n-2)= n(n-1) (n-2)對，第二小題完成。

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