函數解題裡有一句話叫“定義域優先”，因為不注意定義域的話，從根本上就是有問題的。

高中數學中我們說的定義域一般由兩種途徑确定：

一種是自然定義域，就是使函數解析式有意義時，自變量自然要滿足的取值範圍。

有一類題考查“定義域為R”，其實就是說任意實數都能使得解析式有意義，常見如根式内二次函數開口向上且與x軸無公共點，恒為非負的情形。

一種是題目裡自行限定的定義域（當然得是自然定義域的子集）。

關于函數定義域有以下幾類容易出錯的問題。

例1. 已知f(x 2)的定義域是（-5，3），求f(2x 1)的定義域。

定義域都是指自變量（這裡用x表示）的取值範圍，這是沒有疑義的。但學生容易迷惑的地方在于，前後的對應關系是怎樣的？

有一個簡單的處理方式：代換前後，f()括号裡的取值範圍保持不變。

在例1中，就是x屬于（-5，3）可求出前一個括号裡的x 2屬于（-3，5），那麼令後一個括号裡的2x 1屬于（-3，5），可解得x屬于（-2，2），即所求定義域。

原理是，在我們做換元的時候，置換的兩個元的取值範圍是對應相同的。

2.注意定義域可能在代換的過程中被“抹去”了

例2．已知(x 2)^2 (y^2)/4 = 1，求x^2 y^2的取值範圍

這道題很容易利用消元的思路将問題轉化為關于x的函數最值求解，但極易忽略x、y滿足的約束關系而造成定義域範圍的擴大。

消元時可以用x^2表示y^2代入，即 y^2 = 4 - 4(x 2)^2. 這裡y^2自然是非負的，也就約束x有相應的範圍。在把 4 - 4(x 2)^2 代入 x^2 y^2 後得到關于x的函數中，這一定義域并不會自然呈現，因為 4 - 4(x 2)^2 并不自然具有非負的約束。

再比如函數化簡的過程中也存在類似問題。一個經典的例子：函數y = x^2/x = x，化簡後不能丢掉x不為0的限制。

要注意的就是，題目裡隐性的約束條件在換元後可能需要主動挖掘出來。

3.判斷奇偶性時，不止關心定義域是否關于原點對稱，還得善用定義域幫助化簡函數

例3. (9-x^2)^(1/2) / (|x-4| |x 3|)

這裡如果不注意到利用定義域 [-3,3] 可以去掉分母的兩個絕對值，就難以化簡函數形式發現奇偶性。

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此外函數的單調區間必須是定義域的子集就不需要再強調了吧。

再如用不等式求解最值時考慮“ = ”取到的條件是否在定義域内。

數列作為函數處理時别忘記定義域是正整數集或其子集，一系列離散的值。

說來說去，還是“定義域優先”那句話，函數的一切問題在定義域内考慮。

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