三角形三條中線相交于一點，該點叫做三角形的重心.三角形的重心具有兩個重要的性質：
第一，重心分每條中線的比為2:1（到頂點距離等于到中點距離的2倍）；
第二，兩條中線的交點就是三角形的重心，經過第三個頂點和重心的直線平分第三邊.
2022年上海中考數學壓軸題：
如圖，在平行四邊形ABCD中，P是線段BC的中點，連接BD交AP與點E，連接CE.
（1）如果AE=CE，
I:求證：平行四邊形ABCD是菱形；
Ii:若AB=5，CE=3，求線段BD的長；
（2）分别以點A，B為圓心，AE，BE為半徑作圓，兩圓交于點E，F，點F恰好落在射線CE上，如果CE=√2AE，求AB/BC的值.
解析：（1）i：如圖，連接AC交BD于O.欲證平行四邊形ABCD是菱形，隻需證明AC⊥BD即可.
因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AO=CO，
在△ACE中，
因為AE=CE，
所以EO⊥AC，
即AC⊥BD，
所以平行四邊形ABCD是菱形；
ii:關注Rt△ABO和Rt△AEO.
因為AP，BO都是△ABC的中線，
所以點E是△ABC的重心，
所以BE=2EO，設EO=x，則BE=2x，
所以BO=3x，
則由勾股定理，得：
AB^2-BO^2=AO^2=AE^2-EO^2，
因為AB=5，AE=CE=3，
所以25-9x^2=9-x^2，
整理，得：8x^2=16，x^2=2，
所以x=√2，
所以BD=2BO=6x=6√2；
（2）如圖，考慮到“同圓半徑相等”，連接AF，BF.則
AF=AE，BF=BE，
所以AB垂直平分EF，
連接AC交BD于O，
則BO是△ABC的中線，
又AP也是△ABC的中線，
所以點E是△ABC的重心，
所以CE平分AB，
所以AB和EF互相垂直平分，
所以四邊形AEBF是菱形，
設CF交AB于G，
則EG=CE/2=√2AE/2，
又∠AGE=90°，
所以AG=EG，
所以AG=FG=BG=EG，
所以四邊形AEBF是正方形，
所以AB=√2AE，
在Rt△BEP中，
BE=AE，PE=AE/2，
所以BP=√(AE^2 PE^2)
=√(AE^2 AE^2/4)=√5AE/2，
所以BC=√5AE，
所以AB/BC=√2/√5=√10/5.
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