一道幾何題-初中證明題（含高中解法）
ABCD是正方形，AC上的兩點E和F滿足∠EDF=45°，若AE=x, EF=y, FC=z,
那麼有：
證明：方法1-初中方法
如圖将三角形FDC反時針旋轉90度，這樣DF落在DF’, DC 與DA重合，連接F’E
顯然由于旋轉關系， 三角形DAF’全等于三角形DCF，這樣
F’A=FC=z,
DF’=DF
∠F’DA=∠FDC
由于∠F’DA ∠EDA=∠F’DC ∠EDA
=∠ADC-∠EDA
=90°-45°
=45°
所以三角形EDF’全等于三角形EDF
因此EF’=EF=y,
此外在三角形F’AE中有∠F’AE=∠F’DA ∠EDA
=45° 45°
=90°
根據勾股定理：
即證得：
證明2： 高中解法利用正弦定理，如圖标出各個角度，
在三角形AED中有：
在三角形EDF中用正弦定理有：
同樣在三角形EDF中，
在三角形DFC中：
第一個等式除以第二個等式有：
即：
将第三個等式用第四個相除得：
即：
将上面有關的等式利用三角公式化簡有：
Sin(90-θ)=cosθ
另外 sin(45 θ)=sin(90°-(45°-θ))=cos(45°-θ)
Sin(45° θ) sin(45θ-θ)=cos(45°-θ) sin(45°-θ=1/2sin(90-2θ)
因而：
即證得：
證法3： 此題還可以用餘弦定理，方法是三角形ADE，EDF和FDC中分别求出x, y, z的平方，，然後再利用三個三角形的面積和是正方形面積的一半就可消掉中間項ED和FD的值。這裡省略。
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