一、學習内容：

1、理解二次根式定義。

2、理解并掌握二次根式有意義的條件，能利用二次根式有意義的條件解決問題。

3理解并掌握（√a）²=a(a≥0)。

4理解并掌握√a²=丨a丨(當a≥0時，等于a；當a≤0時等于－a)。

二、學習方法指導

1、二次根式定義:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。√稱為二次根号，a稱為被開方數。

理解:(1)二次根式表示的是非負數的算術平方根。

例:下列各式中哪個是二次根式，哪個不是二次根式，為什麼不是？

①√5；②－√5；③√－5；④√－a²－1；⑤√a b(a≥0，b≥0)；⑥－√m 2(m≥－2)

⑦√－(x－2)²(x≠2)

解:①，②，⑤，⑥是二次根式，－√5表示5的負平方根，也可以說5的算術平方根的相反數。

③，④，⑦不是二次根式。因為③④⑦的被開方數都是負數，負數沒有算術平方根，所以它們不是二次根式。

(2)因為在實數範圍負數沒有算術平方根，所以a≥0，√a≥0

例如:(1)已知|x－2| √y 3=0，求x－y的值。

分析:因為絕對值與算術平方根都是非負數，非負數的和為0，則每個數都等于0。解:∵|x－2| √y 3=0

∴x－2=0，x=2。y 3=0，y=－3。

∴x－y=2－(－3)=5。

(2)已知a，b為一等腰三角形的兩邊長，且滿足2√3a－6 3√2－a=b－4，求此等腰三角形的周長。

解:∵3a－6≥0，∴a≥2

又∵2－a≥0，∴a≤2

∴a=2

又∵2√3a－6 3√2－a=b－4

∴b－4=0，∴b=4

∵該三角形為等腰三角形，且三角形兩邊之和大于第三邊。

∴三角形的三邊應是4，4，2。

∴三角形周長為4 4 2=10。

2、二次根式有意義的條件:被開方數大于或等于0。

理解:(1)像√2表示2的算術平方根，有意義。√－2則無意義，因為負數沒有算術平方根。(2)根據二次根式有意義的條件确定字母的取值範圍時，隻要讓被開方數大于或等于0即可。

例1:當x取何值時，下列各式在實數範圍内有意義。

1、√x－2， 2、√2x 6，

3、√－x， 4、√x² 1，

解:1、由x－2≥0得x≥2。2、由2x 6≥0得x≥－3。3、由－x≥0得x≤0。4、由x² 1≥0可知x取任意實數時，x² 1都大于0，所以x的取值範圍是全體實數。

例2:思考:(1)當x是怎樣的實數時，√x²在實數範圍内有意義？√x³？偶次方時x取值範圍是全體實數，奇次方時x取值範圍是x≥0。

(2)若√3x－1 √1－3x有意義，則x=____

因為要使題中的兩根式都有意義，

則3x－1≥0可得x≥1/3，同時1－3x≥0，可得x≤1/3，所以x=1/3

鞏固練習。

3、二次根式的性質(1)(√a)²=a(a≥0)。

解析:由算術平方根的定義可知x²=a，則x=√a，√a叫a的算術平方根，如√5是5的算術平方根，則(√5)²=5。

在x²=a中，因為任何一個實數的平方都大于或等于0，所于a≥0。因此(√a)²=a(a≥0)。

例1:計算:

①(2√5)²，②－(√7)²，③5(√3)²

④(√4)²－(3√2)²

解:①(2√5)²=2²×(√5)²=4×5=20

②－(√7)²=－7

③5(√3)²=5×3=15

④(√4)²－(3√2)²=4－9×2=4－18=－14

(2)√a²=|a|，

當a≥0時等于a 當 a≤0時等于－a。(即a≥0時等于它本身a，a≤0時等于它的相反數－a)

解析:因為√2²=√4=2。 所以√2²=2 。

而√(－2)²=√4=2 所以√(－2)²=2。

例如:1、化簡(1) √(－5)² ，(2)√7²

(3)√(π－3)²， (4)√(a－1)²(a≤1)

解:√(－5)²=5， √7²=7

√(π－3)²=π－3 ( 因為π－3﹥0 ，所以等于它本身π－3)

√(a－1)²=－(a－1)=1－a，(因為a≤1則a－1≤0，所以等于a－1的相反數－(1－a)，再去括号得1－a。)

2、已知a √a²=0則a的取值範圍是___。

因為a (－a)=0，所以√a²=－a，所以a的取值範圍是a≤0。

3、已知0<x<1，化簡|x|－√(1－x)²。

分析:因為0<x<1，所以x>0，|x|=x。因為0<x<1，所以1－x>0，√(1－x)²=1－x。解:|x|－√(1－x)²

=x－(1－x)

=x－1 x

=2x－1。

4、已知a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡丨a b丨 √(b－a)²

解:∵a<0，b>0且丨a丨>丨b丨

∴a b<0，b－a>0

∴丨a b丨 √(b－a)²

=－(a b) (b－a)

=－a－b b－a

=－2a

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