今天小編為大家整理了高中函數值域的12種解法，快來學習吧！

一。觀察法

　　通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

　　例1求函數y=3 √(2-3x) 的值域。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

　　故3 √(2-3x)≥3.

　　∴函數的知域為。

　　點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二。反函數法

　　當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

　　例2求函數y=(x 1)/(x 2)的值域。

　　點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

　　解：顯然函數y=(x 1)/(x 2)的反函數為：x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數，故函數y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

　　練習：求函數y=(10x 10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y∣y<-1或y>1｝)

　　三。配方法

　　當所給函數是二次函數或可化為二次函數的複合函數時，可以利用配方法求函數值域

　　例3：求函數y=√(-x2 x 2)的值域。

　　點撥：将被開方數配方成平方數，利用二次函數的值求。

　　解：由-x2 x 2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2 x 2=-(x-1/2)2 9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2 x 2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

　　點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用，而且要特别注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

　　練習：求函數y=2x-5 √15-4x的值域。(答案：值域為{y∣y≤3})

　　四。判别式法

　　若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數，可用判别式法求函數的值域。

　　例4求函數y=(2x2-2x 3)/(x2-x 1)的值域。

　　點撥：将原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判别式，從而确定出原函數的值域。

　　解：将上式化為(y-2)x2-(y-2)x (y-3)=0 (*)

　　當y≠2時，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x (y-3)≥0，解得：2

　　當y=2時，方程(*)無解。∴函數的值域為2

　　點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判别式為非負數，可求得函數的值域。常适應于形如y=(ax2 bx c)/(dx2 ex f)及y=ax b±√(cx2 dx e)的函數。

　　練習：求函數y=1/(2x2-3x 1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

　　五。值法

　　對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]内的較值，并與邊界值f(a).f(b)作比較，求出函數的值，可得到函數y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2 x 1)≤0,且滿足x y=1,求函數z=xy 3x的值域。

　　點撥：根據已知條件求出自變量x的取值範圍，将目标函數消元、配方，可求出函數的值域。

　　解：∵3x2 x 1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x y=1，将y=1-x代入z=xy 3x中，得z=-x2 4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2 4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故隻需比較邊界的大小。

　　當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4.

　　∴函數z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點評：本題是将函數的值域問題轉化為函數的值。對開區間，若存在值，也可通過求出值而獲得函數的值域。

　　練習：若√x為實數，則函數y=x2 3x-5的值域為 ()

　　A.(-∞， ∞)B.[-7， ∞]C.[0， ∞)D.[-5， ∞)

　　(答案：D)。

　　六。圖象法

　　通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

　　例6求函數y=∣x 1∣ √(x-2)2 的值域。

　　點撥：根據值的意義，去掉符号後轉化為分段函數，作出其圖象。

　　解：原函數化為 -2x 1(x≤1)

　　y= 3 (-1

　　2x-1(x>2)

　　它的圖象如圖所示。

　　顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3， ∞]。

　　點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

　　求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

　　求函數值域的方法較多，還适應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

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