作者：Dr. Dilts 俄勒岡大學數學博士，其埃爾得什數等于3。

翻譯，MathIsAll，哆嗒數學網翻譯組成員。

關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文

大多數人的數學觀念是在小學時被灌輸的。

根據我的經曆，小學數學是這樣的：老師說我們需要計算一個東西。然後他展示了如何計算這個東西，計算有七個差别不大的變形。你的家庭作業是計算其中的六種變形。考試就考七個中的其中五個變形。

十年後，大多數人認為數學就是計算。由于采用死記硬背的方法，很多人都覺得數學就是一些一成不變的計算技巧。如果你執行一套晦澀的、難以理解的步驟，你将得到一個虛幻的“正确答案”。你必須按照特定的步驟算答案，如果你忘了這些解題步驟，就隻能依靠老天爺幫忙了。于是，你隻能陷入無限的絕望之中。

當然，作為來自遠古智慧，他們相信所有的數學都來自高不可攀的地方。它冷峻，深邃，完美無瑕。

——但真正的數學不是那樣。

那麼，到底什麼是數學？

計算是一個有用的工具，但絕對不是數學的全部。

數學是對理解的追求。就像任何好的史詩幻想系列一樣，它似乎永遠不會完成。

我們數學家所尋求的理解是一種非同尋常的理解。如果說科學的目标是描述和理解周圍的宇宙“是什麼”的話。那麼，數學家試圖去理解為什麼“必須是”。

畢竟，一個數學家所問的問題通常是可能根本不存在的事物。你見過一條完全筆直的無限長的細線嗎？或者大小恰好是90度的角？但是，如果我有一個完美平面直角三角形，我知道邊長有一定的關系a² b²=c²。

當然，我們可以數數，數出37頭奶牛，但是奶牛是否關心這個37是個質數？但是37的确是質數，因此如果有多個人要分享這37頭奶牛，那麼不可能做到平均分配。

作為一個數學家，我時常這樣表述的我的工作——試圖去發現連上帝都做不到的事情。即使是全能的上帝也無法創造出一個其邊長不服從勾股定理的平面直角三角形。上帝也不能把37頭奶牛平分給多個人。

決定“必須是”的基礎是數學的定義和公理。

定義和公理是不同的，但又非常密切相關。

定義描述了我們談論的事情。例如，歐幾裡得幾何中，直線（相對于曲線）可以被定義為“各點看齊的線”(lies evenly with the points on itself——幾何原本)。

公理描述了我們可以用定義 “做什麼”。這些往往是非常基本的，“顯然”的事情。例如，對稱公理說：“如果A=B，那麼B=A。”在這個例子中，你可以把這公理看作是你可以做的事情（這裡你可以做的事情是交換等式兩邊），或者你可以把這條公理看作是在對兩個東西相等在做定義。

在這個基礎之上，數學是建立在邏輯上的。給定定義和公理，某些結論是必然的結果。這些結論我們稱之為定理、引理或命題。

因為數學是以這種權威的方式教授的，所以數學的定義和公理似乎在某種程度上是“牢不可破”，它們不是人類的造物。你會認為公理和定義是數學家正在尋找的“必須是”的一部分。

在某種程度上, 這可能是對的, 但我認為也不全是這樣, 數學肯定不是這樣做的。

當你讀一本教科書時, 上面會出現被認為重要的定義和公理的最新思考。但這在一定程度上掩蓋了一個事實, 即需要幾百年甚至幾千年的時間來決定“這些公理”應該成為構成數學的基礎。

數學會演進，數學會變化。今天使用的定義和公理與牛頓使用的定義和公理不盡相同。

這裡關于牛頓的故事，實際上給出了數學是在變化的一個好例子。

牛頓以及萊布尼茲在1670年左右發明了微積分。在解決物理和數學中的許多重要問題時，微積分當即證明了它是非常有用的。

但是牛頓的微積分并不是建立在我們今天認為的嚴格的基礎之上的。

為了解釋他們的想法，牛頓和萊布尼茲都使用了一些“無窮小”的概念，說它們是“無窮小的數”。

無窮小在對微積分的直觀解釋中非常有用（當我自己教微積分時，我經常非正式地使用它們）。因此盡管人們接受了牛頓和萊布尼茲一些結論的證明，但仍然有些人對“無窮小的數”的觀點感到不安。

但随着數學家深入研究微積分的思想，很明顯無窮小量的論證并不完善。有一些重要的定理無法被精确證明，因為微積分的基礎沒有得到足夠嚴謹的證明。

因此，19世紀的一個主要的數學課題是證明微積分的“合理性”，并确保微積分的基礎是正确的。

這涉及發明新的定義。例如，微積分的一個關鍵思想就是“極限”。不太嚴謹的說，極限就是要回答“當輸入接近某個數時，輸出的數接近哪個數？”

對極限的直覺并不困難;你輸入的數越來越接近你想要的數時，看看輸出是否接近另外某個數。但是，我們今天使用的極限ε-δ定義，直到1820年才由柯西引入。

數學不是靜态的，我們使用的公理和定義不一定是自然的待在某處，我們拿來就用。當我們尋求更深入的理解時，我們常常會發現我們早先的理解是不完善的，甚至是不正确的，我們于是開始尋求修複基礎的辦法。這種情況一次又一次地發生，以達到我們“牢不可破”現代數學思想。

總而言之，數學是尋求理解“必須是”的問題。但我們試圖理解的概念并非一成不變。數學的對象是由人定義的，當我們更好地理解它們時，我們的定義和公理就就在變化中建立了起來。

關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!