中學開始接觸物理的時候，引力一直都作為一種力存在着，人們在生活中也是一直都在感受着引力的影響。随着網絡的傳播，廣義相對論的科普内容也是鋪天蓋地，愛因斯坦那句“物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動”，讓很多人一瞬間迷茫了，引力突然就變成了一種幾何效應，這是大家一時半刻很難接受的。本文就與您探讨一下，引力為什麼會是一種幾何效應。

引力究竟是什麼？我們看不見也摸不着，要想研究引力，我們就隻能通過研究物體在引力場中的運動，把物體在引力場中的運動軌迹都畫下來，這些軌迹會形成一個軌道。抽象成物理的語言來說就是質點在引力場中運動，會在時空中畫出一條曲線。

當然了，這個曲線不一定是封閉的，因為空間曲線不是幾何定量，它是躺在空間上的，但是我們對時空的3 1的分解是任意的。所以這個空間曲線實際上是世界線在空間中的投影。而在時空中的世界線才是幾何不變量。我們說的質點在引力場中的軌道，說的就是世界線。

【備注】世界線是愛因斯坦于其1905年論文《論動體的電動力學》中提及的概念。他将時間和空間合稱為四維時空，粒子在四維時空中的運動軌迹即為世界線。 在物理學上，世界線是物體穿越四維時空唯一的路徑，因加入時間維度而有别于力學上的“軌道”或“路徑”。

開普勒利用老師第谷留下的精确行星觀測數據，以哥白尼的日心說為基礎，得到了行星運動的三大定律，第一次讓人類真正的“看”到了天體運動的真正軌迹。他的橢圓軌道理論也因為與觀測結果高度一緻而得到了科學界的普遍認可。

哥白尼的太陽中心說，也因為開普勒的卓越工作而被學界接納。接下來就是牛頓的工作了，他在總結了伽利略的工作之後推出了牛頓三大定律。當他把有關圓周運動，與哥白尼的日心說以及開普勒的工作相結合的時候，一個偉大的發現降臨了，這就是萬有引力。

我們都知道，做圓周運動的質點需要一個向心力，比如我們用一根細繩栓住一個小球，在水平桌面上做圓周運動，小球所需要的向心力由細繩的拉力來提供。而牛頓自然而然地想到，天體做類似的運動所需要的向心力，這個力來自天體之間的相互吸引。

大家可千萬不要以為，牛頓真的是因為蘋果落地而想到萬有引力，那不過是牛頓的一種說辭。真正對牛頓的啟發是日心說以及開普勒的工作，是行星軌道與圓周運動相似的軌迹、同樣的平方反比定律。這才是牛頓萬有引力發現的真相。我們中學做萬有引力公式推導的時候，也是這樣一種過程。

這個過程（牛頓萬有引力）也是一個從質點運動軌迹（行星軌道與圓周運動）之間類比分析得到的結果。

【劃重點】由于天體運行于桌面小球的圓周運動都是周期性運動，所以牛頓在考慮萬有引力的時候，是沒有考慮時間這個物理量的。也就是說，牛頓的萬有引力與時間無關。

這裡需要先來介紹一下測地線這個概念。類似地球這樣的物體并非由于稱為引力的力使之沿着彎曲軌道運動，而是它沿着彎曲時空中最接近于直線的稱之為測地線的軌迹運動。

例如，地球的表面是一彎曲的二維空間。地球上的測地線稱為大圓，是兩點之間最近的路徑。由于測地線是兩個機場之間的最短程，這正是領航員叫飛行員飛行的航線。

在廣義相對論中，物體總是沿着四維時空的直線走。盡管如此，在我們的三維空間看起來它是沿着彎曲的途徑（這正如同看一架在非常多山的地面上空飛行的飛機。雖然它沿着三維空間的直線飛，在二維的地面上它的影子卻是沿着一條彎曲的路徑）。

愛因斯坦在思考引力的時候，将時間納入進來。在宇宙中運動的天體隻受到引力的作用，那麼，天體在時空中的軌道就是測地線，宇宙中有無數的天體，那麼時空中就會有無數條這樣的測地線。

現在愛因斯坦手上隻有一個等效原理和一點微分幾何知識。他想，一個随着質點在引力場中自由下落的觀察者，他感受不到引力的作用，所以，這個觀察者在每一個瞬間都會認為質點是在走很短的一個直線。換句話說，質點的加速度為零，這正是今天每一個宇航員都能在空間站中觀察到的現象。

那麼，這個觀察者或者說是宇航員可以把他觀察到的質點受力情況根據牛頓第二定律寫成上圖中的式子a，其中x是空間坐标，t是時間坐标。很顯然這個方程在空間站内是成立的，觀測事實嘛。

我們再來看一下微分幾何中的測地線方程，上圖中的式子b。如果大家很熟悉最小作用量原理，就會理解這個方程的意義了。這兩個方程在形式上很像，那個Γ是克裡斯多夫符号。

第一個方程，是沒有引力時候的運動方程，可以認為其具有慣性力。第二個方程，是微分幾何裡的測地線方程。

如果把s線看作是固有時，那麼兩個方程差了一個克裡斯多夫符号，而克裡斯多夫符号可以被看作是慣性力。從這裡我們可以看出，如果把克裡斯多夫符号看作是慣性力，那麼，牛頓第二定律和測地線方程其實就是同一件事。

可能學過物理的小夥伴已經反應上來了，但這裡我還是要多說一句。我們知道慣性力并不是真正的力，它是一種我們觀測上的效應，是從物體運動的軌迹上得到的一種物體由于保持其原有運動狀态而得到的虛拟的力。同樣道理，引力也隻是我們由于觀察到的物體運動的軌迹在四維時空中的幾何效應。

從前面的分析我們可以看到，對于引力的本質，不論是牛頓還是愛因斯坦，其實都是從物體的運行軌迹出發得到的結論，換句話說，是從幾何角度得出的結論。愛因斯坦與牛頓的認識差别是，愛因斯坦在考慮引力的時候，是基于四維時空來考慮的，換句話說就是含時的，而牛頓看到的隻是一條不含時的三維空間中的軌迹線。

從四維空間的角度來說，引力與慣性力一樣，并不是真實存在的力，而是時空中的一種幾何效應。這也正是引力質量與慣性質量等效的根本原因，如今有科學家們設計了運行在太空中的等效原理實驗，在人類目前的極限精度範圍内，等效原理一直成立。也就是說，廣義相對論的一個立論基礎牢不可破。

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